Question

在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交邊AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為射線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且∠PDQ=90°
（1）求ED、EC的長(zhǎng)；
（2）若BP=2，求CQ的長(zhǎng)；
（3）記線段PQ與線段DE的交點(diǎn)為點(diǎn)F，若△PDF為等腰三角形，求BP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理求得BC=10．通過“兩角法”證得△CDE∽△CAB，則對(duì)應(yīng)邊成比例DE：AB=CE：CB=CD：CA，由此可以求得DE、CE的值；
（2）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在AB上時(shí)，由∠PDQ=90°就可以得出∠2=∠4，就可以證明△PBD∽△QED，就可以EQ的值，從而求得CQ的值；如圖2-1，當(dāng)P點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，證明△PBD∽△QED，由相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論；
（3）如圖3，4，5由條件可以求出△BPD∽△EQD，就有

BP

EQ

=

BD

ED

=

PD

QD

=

4

3

．設(shè)BP=x，則EQ=

3

4

x，CQ=

25

4

-

3

4

x．由三角函數(shù)值可以得出△PDF∽△CDQ．由△PDF為等腰三角形就可以得出△CDQ為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分三種情況討論就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1，∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴根據(jù)勾股定理得到，BC=

AB2+AC2

=10
∴CD=

1

2

BC=5．
∵DE⊥BC．
∴∠A=∠CDE=90°∠C=∠C
∴△CDE∽△CAB
∴DE：AB=CE：CB=CD：CA，
即DE：6=CE：10=5：8
∴DE=

15

4

，CE=

25

4

；
（2）如圖2，∵△CDE∽△CAB，
∴∠B=∠DEC．
∵∠PDQ=90°
∴∠1+∠4=90°．
∵∠1+∠2=90°
∴∠2=∠4，
∴△PBD∽△QED，
∴

PB

EQ

=

BD

ED

，
∴

2

EQ

=

5

15 4

，
∴EQ=

3

2

，
∴CQ=CE-EQ=

25

4

-

3

2

=

19

4

．
如圖2-1，∵∠B=DEC，
∴∠PBD=∠QED．
∵∠PDQ=90°
∴∠1+∠2=90°．
∵∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3，
∴△PBD∽△QED
∴

PB

EQ

=

BD

ED

，
∴

2

EQ

=

5

15 4

，
∴EQ=

3

2

，
∴CQ=

25

4

+

3

2

=

31

4

故EC=

19

4

或

31

4

；
（3）∵線段PQ與線段DE的交點(diǎn)為點(diǎn)F，
∴點(diǎn)P在邊AB上
∵△BPD∽△EQD   
∴

BP

EQ

=

BD

ED

=

PD

QD

=

4

3

．
若設(shè)BP=x ，則EQ=

3

4

x，CQ=

25

4

-

3

4

x．
∵cot∠QPD=

PD

QD

=

4

3

，cot∠c=

CD

ED

=

5

15 4

=

4

3

，
∴∠QPD=∠C
∵∠PDE=∠CDQ，
∴△PDF∽△CDQ．
∵△PDF為等腰三角形，
∴△CDQ為等腰三角形．
①當(dāng)CQ=CD時(shí)，可得：

25

4

-

3

4

x=5，解得：x=

5

3

．
②當(dāng)QC=QD時(shí)，過點(diǎn)Q作QM⊥CB于M，
∴CM=

1

2

CD=

5

2

．
∵cos∠C=

CM

CQ

=

CA

BC

=

4

5

，
∴

5 2

CQ

=

4

5

，
∴CQ=

25

8

．
∴

25

4

-

3

4

x=

25

8

解得：x=

25

6

 …（1分）
③當(dāng)DC=DQ時(shí)，過點(diǎn)D作DN⊥CQ于N，
∴CQ=2CN．
∵cos∠C=

4

5

=

CN

CD

∴

4

5

=

CN

5

，
∴CN=4，
∴CQ=8，
∴

25

4

-

3

4

x=8
解得：x=-

7

3

（不合題意，舍去）
∴綜上所述，BP=

5

3

或

25

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，分類討論思想在解實(shí)際問題的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角函數(shù)值的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用三角函數(shù)值求證三角形的角相等是難點(diǎn)，證明三角形相似是關(guān)鍵．