Question

【題目】已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且|m|＜|n|，拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（m，0），B（0，n），如圖所示．
（1）求這個(gè)拋物線的解析式；
（2）設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)為D，試求出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，并判斷△BCD的形狀；
（3）點(diǎn)P是直線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B和點(diǎn)C重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)M，點(diǎn)Q在直線BC上，距離點(diǎn)P為 個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，△PMQ的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵x2+4x+3=0，

∴x1=﹣1，x2=﹣3，

∵m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且|m|＜|n|，

∴m=﹣1，n=﹣3，

∵拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（m，0），B（0，n），

∴ ，

∴ ，

∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3，

（2）

解：令y=0，則x2﹣2x﹣3=0，

∴x1=﹣1，x2=3，

∴C（3，0），

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴頂點(diǎn)坐標(biāo)D（1，﹣4），

過點(diǎn)D作DE⊥y軸，

∵OB=OC=3，

∴BE=DE=1，

∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，

∴∠OBC=∠DBE=45°，

∴∠CBD=90°，

∴△BCD是直角三角形

（3）

解：如圖，

∵B（0，﹣3），C（3，0），

∴直線BC解析式為y=x﹣3，

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，PM⊥x軸，

∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為t，

∵點(diǎn)P在直線BC上，點(diǎn)M在拋物線上，

∴P（t，t﹣3），M（t，t2﹣2t﹣3），

過點(diǎn)Q作QF⊥PM，

∴△PQF是等腰直角三角形，

∵PQ= ，

∴QF=1，

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M上方時(shí)，即0＜t＜3時(shí)，

PM=t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，

∴S= PM×QF= （﹣t2﹣3t）=﹣ t2+ t，

如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M下方時(shí)，即t＜0或t＞3時(shí)，

PM=t2﹣2t﹣3﹣（t﹣3），

∴S= PM×QF= （t2﹣3t）= t2﹣ t

【解析】（1）先解一元二次方程，然后用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；（2）先解方程求出拋物線與x軸的交點(diǎn)，再判斷出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，從而得到結(jié)論；（3）先求出QF=1，再分兩種情況，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M上方和下方，分別計(jì)算即可．此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了一元二次方程的解法，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是判定△BCD是直角三角形．