Question

某街道兩旁正在安裝漂亮的路燈，經(jīng)查看路燈圖紙，小紅發(fā)現(xiàn)該路燈的設(shè)計可以看作是“相切兩圓”的一部分，部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示：⊙O₁、⊙O₂相切于點C，CD切⊙O₁于點C，A、B為路燈燈泡．已知∠AO₁O₂=∠BO₂O₁=60°．A、B、C三點距地面MN的距離分別為150

3

cm，180

3

cm，100

3

cm，請根據(jù)以上圖文信息，求：
（1）⊙O₁、⊙O₂的半徑分別多少cm？
（2）把A、B兩個燈泡看作兩個點，求線段AB的長．

Answer 1

分析：（1）首先過點A作AP⊥MN交O₁O₂于點P，由A、B、C三點距地面MN的距離分別為150

3

cm，180

3

cm，100

3

cm可求得AP的長，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，求得O₁A的長，同理可求得⊙O₂的半徑；
（2）首先過點A作AP⊥MN交O₁O₂于點P，過點B作BQ⊥MN交O₁O₂于點Q，過點A作AH⊥BQ于點H，可求得AH與BH的長，然后由勾股定理求得線段AB的長．

解答：解：（1）過點A作AP⊥MN交O₁O₂于點P，
∵A、B、C三點距地面MN的距離分別為150

3

cm，180

3

cm，100

3

cm
∴AP=150

3

-100

3

=50

3

（cm），
∴在Rt△O₁AP中，O₁A=

AP

sin∠AO1O2

=

50 3

sin60°

=100（cm），
同理：O₂B=

80 3

sin60°

=160（cm），
∴⊙O₁、⊙O₂的半徑分別為100cm和160cm．

（2）如圖，過點A作AP⊥MN交O₁O₂于點P，過點B作BQ⊥MN交O₁O₂于點Q，過點A作AH⊥BQ于點H，
則四邊形APQH是矩形，
∵O₁P=

1

2

O₁A，O₂Q=

1

2

O₂B，
∴AH=PQ=

1

2

（100+160）=130（cm），BH=180

3

-150

3

=30

3

（cm），
∴AB=

AH2+BH2

=

1302+(30 3 )2

=140（cm）．
即線段AB的長為140cm．

點評：此題考查了相切兩圓的性質(zhì)、勾股定理以及三角函數(shù)的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．