Question

已知：如圖，ABCD在平面直角坐標系中，AD=6，若OA、OB的長是關于x的一元二次方程x²-7x+12=0的兩個根，且OA>OB。
（1）求cos∠ABC的值；
（2）若E是x軸正半軸上的一點，且S_△AOE=，求經過D、E兩點的直線的解析式，并判斷△AOE與△DAO 是否相似，同時說明理由；
（3）點M在平面直角坐標系中，點F在直線AB上，如果以A、C、F、M為頂點的四邊形為菱形，請直接寫出F點坐標。

Answer 1

解：（1）解方程x²-7x+12=0，
得x₁=4，x₂=3，
∵OA> OB，
∴OA=4，OB=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得
 ；
（2）
∵點E在軸x上，S_△AOE=，
∴AO·OE=，
∴OE=
∵點E在x軸的正半軸上，
∴E（，0），
由已知可知D（6，4），
設經過D、E兩點的直線的解析式為y= kx+b，
將D、E兩點的坐標代人得，解得
所以，過D.E兩點的直線的解析式為y=x-，
在△AOE中，∠AOE=90°，OA=4，OE=，
在△AOD中，∠OAD=90°，OA=4，AD=6，
∵OE/OA=OA/AD，
∴△AOE∽△DAO
（3）滿足條件的點有4個：
 。