Question

【題目】如圖，若b是正數(shù)，直線l：y=b與y軸交于點(diǎn)A；直線a：y=x﹣b與y軸交于點(diǎn)B；拋物線L：y=﹣x2+bx的頂點(diǎn)為C，且L與x軸右交點(diǎn)為D．

（1）若AB=8，求b的值，并求此時L的對稱軸與a的交點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)C在l下方時，求點(diǎn)C與l距離的最大值；

（3）設(shè)x0≠0，點(diǎn)（x0，y1），（x0，y2），（x0，y3）分別在l，a和L上，且y3是y1，y2的平均數(shù)，求點(diǎn)（x0，0）與點(diǎn)D間的距離；

（4）在L和a所圍成的封閉圖形的邊界上，把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為“美點(diǎn)”，分別直接寫出b=2019和b=2019.5時“美點(diǎn)”的個數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）b=4，（2，﹣2 ）；（2）1；（3）；（4）當(dāng)b=2019時“美點(diǎn)”的個數(shù)為4040個，b=2019.5時“美點(diǎn)”的個數(shù)為1010個．

【解析】

（1）求出A、B 的坐標(biāo)，由AB=8，可求出b的值．從而得到L的解析式，找出L的對稱軸與a的交點(diǎn)即可；

（2）通過配方，求出L的頂點(diǎn)坐標(biāo)，由于點(diǎn)C在l下方，則C與l的距離，配方即可得出結(jié)論；

（3）由題意得y1+y2=2y3，進(jìn)而有b+x0﹣b=2（﹣x02+bx0）解得x0的值，求出L與x軸右交點(diǎn)為D的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；

（4）①當(dāng)b=2019時，拋物線解析式L：y=﹣x2+2019x直線解析式a：y=x﹣2019，美點(diǎn)”總計4040個點(diǎn)，②當(dāng)b=2019.5時，拋物線解析式L：y=﹣x2+2019.5x，直線解析式a：y=x﹣2019.5，“美點(diǎn)”共有1010個．

（1）當(dāng)x=0吋，y=x﹣b=﹣b，∴B （0，﹣b）．

∵AB=8，而A（0，b），∴b﹣（﹣b）=8，∴b=4，∴L：y=﹣x2+4x，∴L的對稱軸x=2，當(dāng)x=2時，y=x﹣4=﹣2，∴L的對稱軸與a的交點(diǎn)為（2，﹣2 ）；

（2）y=﹣（x）2，∴L的頂點(diǎn)C（，）．

∵點(diǎn)C在l下方，∴C與l的距離b（b﹣2）2+1≤1，∴點(diǎn)C與l距離的最大值為1；

（3）∵y3是y1，y2的平均數(shù)，∴y1+y2=2y3，∴b+x0﹣b=2（﹣x02+bx0），解得：x0=0或x0=b．

∵x0≠0，∴x0=b，對于L，當(dāng)y=0吋，0=﹣x2+bx，即0=﹣x（x﹣b），解得：x1=0，x2=b．

∵b＞0，∴右交點(diǎn)D（b，0），∴點(diǎn)（x0，0）與點(diǎn)D間的距離b﹣（b）．

（4）①當(dāng)b=2019時，拋物線解析式L：y=﹣x2+2019x，直線解析式a：y=x﹣2019．

聯(lián)立上述兩個解析式可得：x1=﹣1，x2=2019，∴可知每一個整數(shù)x的值都對應(yīng)的一個整數(shù)y值，且﹣1和2019之間（包括﹣1和﹣2019）共有2021個整數(shù)；

∵另外要知道所圍成的封閉圖形邊界分兩部分：線段和拋物線，∴線段和拋物線上各有2021個整數(shù)點(diǎn)，∴總計4042個點(diǎn)．

∵這兩段圖象交點(diǎn)有2個點(diǎn)重復(fù)，∴美點(diǎn)”的個數(shù)：4042﹣2=4040（個）；

②當(dāng)b=2019.5時，拋物線解析式L：y=﹣x2+2019.5x，直線解析式a：y=x﹣2019.5，聯(lián)立上述兩個解析式可得：x1=﹣1，x2=2019.5，∴當(dāng)x取整數(shù)時，在一次函數(shù)y=x﹣2019.5上，y取不到整數(shù)值，因此在該圖象上“美點(diǎn)”為0，在二次函數(shù)y=x2+2019.5x圖象上，當(dāng)x為偶數(shù)時，函數(shù)值y可取整數(shù)，可知﹣1到2019.5之 間有1010個偶數(shù)，因此“美點(diǎn)”共有1010個．

故b=2019時“美點(diǎn)”的個數(shù)為4040個，b=2019.5時“美點(diǎn)”的個數(shù)為1010個．