Question

【題目】如圖，四邊形中，，以為直徑的經(jīng)過(guò)點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)．

（1）證明：；

（2）若，證明：與相切；

（3）在（2）條件下，連接交于點(diǎn)，連接，若，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．

【解析】

（1）連接OC，證△OAD≌△OCD 得∠ADO＝∠CDO ，由AD＝CD知DE⊥AC ，再由AB為直徑知BC⊥AC，從而得OD∥BC；

（2）根據(jù)tan∠ABC2可設(shè)BC＝a、則AC＝2a、AD＝AB，證OE為中位線知OEa，AE＝CEAC＝a，進(jìn)一步求得DE2a，在△AOD中利用勾股定理逆定理證∠OAD＝90°即可；

（3）先證△AFD∽△BAD，再證△AED∽△OAD由相似的性質(zhì)可，結(jié)合∠EDF＝∠BDO知△EDF∽△BDO，據(jù)此可得，結(jié)合（2）可得相關(guān)線段的長(zhǎng)，代入計(jì)算可得．

（1）連接OC。

在△OAD和△OCD中，

∵，

∴△OAD≌△OCD（SSS），

∴∠ADO＝∠CDO，

又AD＝CD，

∴DE⊥AC．

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，

∴OD∥BC；

（2）∵tan∠ABC2，

∴設(shè)BC＝a、則AC＝2a，

∴AD＝AB．

∵OE∥BC，且AO＝BO，

∴OEBCa，AE＝CEAC＝a．

在△AED中，DE2a．

在△AOD中，AO2+AD2＝（）2+（a）2a2，OD2＝（OE+DE）2＝（a+2a）2a2，

∴AO2+AD2＝OD2，

∴∠OAD＝90°，

∴DA與⊙O相切；

（3）連接AF．

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AFD＝∠BAD＝90°．

∵∠ADF＝∠BDA，

∴△AFD∽△BAD，

∴，

即DFBD＝AD2①．

又∵∠AED＝∠OAD＝90°，∠ADE＝∠ODA，

∴△AED∽△OAD，

∴，

即ODDE＝AD2②，

由①②可得DFBD＝ODDE，

即．

又∵∠EDF＝∠BDO，

∴△EDF∽△BDO．

∵BC＝1，

∴AB＝AD、OD、ED＝2、BD、OB，

∴，

即，

解得：EF．