Question

【題目】點(diǎn)M為二次函數(shù)y＝﹣x2+2bx+1+4b﹣b2圖象的頂點(diǎn)，直線y＝mx+5分別交x軸正半軸，y軸于點(diǎn)A，B．

（1）判斷頂點(diǎn)M是否恒在某條直線上？若是，求出該直線解析式；若不是，說明理由．

（2）若二次函數(shù)圖象也經(jīng)過點(diǎn)A，B，且mx+5＞﹣x2+2bx+2+4b﹣b2，借助圖象，求出x的取值范圍．

（3）點(diǎn)A坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)M在△AOB內(nèi)時(shí)，若點(diǎn)C（，y1），D（，y2）都在二次函數(shù)圖象上，試比較y1與y2的大小．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)M在直線y＝4x+1上．（2）x的取值范圍是x＜0或x＞5．（3）①當(dāng)0＜b＜時(shí)，y1＞y2，②當(dāng)b＝時(shí)，y1＝y2，③當(dāng)＜b＜時(shí)，y1＜y2．

【解析】

（1）根據(jù)頂點(diǎn)式，可求頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，用設(shè)元消參的方法求解析式即可；

（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可求得二次函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)圖象與不等式的關(guān)系，圖象在下方的函數(shù)值小，即可得到答案；

（3）根據(jù)解方程組，可得頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的范圍，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

（1）y＝﹣x2+2bx+1+4b﹣b2＝﹣（x﹣b）2+4b+1，

∵M為二次函數(shù)的頂點(diǎn)，

∴M（b，4b+1），

設(shè)x＝b，y＝4b+1，

則y＝4x+1，

∴點(diǎn)M在直線y＝4x+1上．

（2）如圖1所示，

直線y＝mx+5交y軸于點(diǎn)B，

∴B（0，5），

又∵點(diǎn)B在拋物線上，

∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得b＝2，

∴二次函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣2）2+9，

當(dāng)y＝0時(shí)，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，

∴A（5，0），

由圖象得當(dāng)mx+5＞﹣x2+2bx+1+4b﹣b2時(shí)，x的取值范圍是x＜0或x＞5．

（3）如圖2所示，

∵直線y＝4x+1與直線AB交于點(diǎn)E，與y軸交于點(diǎn)F，

A（5，0），B（0，5），

可得直線AB的解析式為y＝﹣x+5，

則有，

解得，

∴E（，），

∵點(diǎn)M在△AOB內(nèi)，

∴1＜4b+1＜，

∴0＜b＜．

當(dāng)點(diǎn)C、D關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，

b﹣＝﹣b，解得b＝，

∵二次函數(shù)的開口方向向下，頂點(diǎn)M在直線y＝4x+1上，

綜上：①當(dāng)0＜b＜時(shí)，y1＞y2，

②當(dāng)b＝時(shí)，y1＝y2，

③當(dāng)＜b＜時(shí)，y1＜y2．