Question

【題目】在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點．

（1）如圖（1），若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，則線段AE、AB、DE的長度滿足的數量關系為　　 ；（直接寫出答案）

（2）如圖（2），AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，則線段AB、BD、DE、AE的長度滿足怎樣的數量關系？寫出結論并證明；

（3）如圖（3），BD=8，AB=2，DE=8，若ACE=135°，則線段AE長度的最大值是　 　（直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】（1）AE=AB+DE；（2）AE=AB+DE+BD，證明詳見解析；（3）10+4（或寫成10+）

【解析】

(1)在AE上取一點F，使AF=AB，及可以得出△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，就可以得出△CEF≌△CED．就可以得出結論；

(2)在AE上取點F，使AF=AB，連結CF，在AE上取點G，使EG=ED，連結CG．可以求得CF=CG，△CFG是等邊三角形，就有FG=CG=BD，進而得出結論；

(3)作B關于AC的對稱點F，D關于EC的對稱點G，連接AF，FC，CG，EG，FG．

（1）AE=AB+DE；

理由：在AE上取一點F，使AF=AB，

∵AC平分∠BAE，

∴∠BAC=∠FAC．

在△ACB和△ACF中，

，

∴△ACB≌△ACF（SAS），

∴BC=FC，∠ACB=∠ACF，

∵C是BD邊的中點，

∴BC=CD，

∴CF=CD，

∵∠ACE=90°，

∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°，

∴∠ECF=∠ECD，

在△CEF和△CED中，

，

∴△CEF≌△CED（SAS），

∴EF=ED，

∵AE=AF+EF，

∴AE=AB+DE；

故答案為：AE=AB+DE；

（2）猜想：AE=AB+DE+BD，

證明：在AE上取點F，使AF=AB，連結CF，在AE上取點G，使EG=ED，連結CG，

∵C是BD邊的中點，

∴CB=CD=BD．

∵AC平分∠BAE，

∴∠BAC=∠FAC，

在△ACB和△ACF中，

，

∴△ACB≌△ACF（SAS），

∴CF=CB，

∴∠BCA=∠FCA，

同理可證：CD=CG，

∴∠DCE=∠GCE，

∵CB=CD，

∴CG=CF，

∵∠ACE=120°，

∴∠BCA+∠DCE=180°﹣120°=60°，

∴∠FCA+∠GCE=60°，

∴∠FCG=60°，

∴△FGC是等邊三角形，

∴FG=FC=BD，

∵AE=AF+EG+FG，

∴AE=AB+DE+BD；

（3）作B關于AC的對稱點F，D關于EC的對稱點G，連接AF，FC，CG，EG，FG，

∵C是BD邊的中點，

∴CB=CD=BD，

∵△ACB≌△ACF（SAS），

∴CF=CB，

∴∠BCA=∠FCA，

同理可證：CD=CG，

∴∠DCE=∠GCE，

∵CB=CD，

∴CG=CF，

∵∠ACE=135°，

∴∠BCA+∠DCE=180°-135°=45°，

∴∠FCA+∠GCE=45°，

∴∠FCG=90°，

∴△FGC是等腰直角三角形，

∴FC=BD，

∵BD=8，

∴FC=4，

∴FG=4，

∵AE=AF+FG+GE，

∴AE=AB+4+DE，

∵AB=2，DE=8，

∴AE≤AF+FG+EG=10+4，

∴當A、F、G、E共線時AE的值最大2，最大值為10+4．

故答案為：10+4．