Question

如圖所示，已知BC是半圓O的直徑，△ABC內接于⊙O，以A為圓心，AB為半徑作弧交⊙O于F，交BC于G，交OF于H，AD⊥BC于D，AD、BF交于E，CM切⊙O于C，交BF的延長線于M，若FH=6，AE=

5

3

DE，求FM的長．

Answer 1

分析：由線段相等可得其對應的弧度也相等，同理有弧線段亦可得到線段相等，所以由角度的關系可先得到AE=BE，由勾股定理求得BD的長，再過A作AQ⊥FH于Q，得△ABD≌△AFQ，得出各條線段的長，再通過切割線定理，可最終求得線段FM的值．

解答：解：∵A為⊙A的圓心，
∴AB=AF，
∴

AB

=

AF

．
∵AD⊥BC，BC為⊙O直徑．
又∠ABC+∠ACB=90°，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠ACB，
∴∠AFB=∠BAD，
∴∠AFB=∠ACB，
∴

AF

=

BN

．
∴∠BAE=∠ABE，
∴AE=BE．
設AE=BE=5k，DE=3k，
∴BD=4k．
過A作AQ⊥FH于Q，連接AO，AO垂直平分BF，易知∠ABE=∠AFB．
∵OB=OF，
∴∠OBF=∠OFB，
∴∠AFQ=∠ABD，
∴△ABD≌△AFQ．
∴AD=AQ，BG=FH=6，
∵AB=AG，又AD⊥BG，
∴BD=DG=4k．
BG=8k=6，
∴k=

3

4

．
∵∠BAC=90°，∠ADB=90°，
∴AD²=BD•DC．
∴(8k2)=4k?DC，∴DC=16k，
∴BC=4k+16k=20k．
∵MC是⊙O切線，
∴MC⊥BC，△BED∽△BMC．
∴

ED

BD

=

MC

BC

，即

3k

4k

=

MC

20k

．
∴MC=15k．
在Rt△BMC中，BM²=CM²+BC²=（25k）²．
由切割線定理，MC2=MF?MB，225k2=MF•25k，
∴MF=9k=9×

3

4

=

27

4

．

點評：本題主要考查了相似、全等三角形的判定及性質以及圓心角、弧、弦、切割線的圓的一部分知識，能夠在理解的基礎上熟練求解．