Question

【題目】等邊三角形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從出發(fā)沿的延長(zhǎng)線向右運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)都以每秒的速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中與相交于點(diǎn)．

（1）運(yùn)動(dòng)幾秒后，為直角三角形？

（2）求證：在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)始終為線段的中點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1） （2）見解析

【解析】

（1）設(shè)x秒時(shí)，△ADE為直角三角形，則CD＝0.5x，BE＝0.5x，AD＝40.5x，AE＝4＋0.5x，根據(jù)30°的直角邊＝斜邊的一般建立方程求出其解即可；

（2）作DG∥AB交BC于點(diǎn)E，證明△DGP≌△EBP，就可以得出PD＝PE．

（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC＝AC＝4cm，∠A＝∠ABC＝∠C＝60°．

設(shè)x秒時(shí)，△ADE為直角三角形，

∴∠ADE＝90°，CD＝0.5x，BE＝0.5x，AD＝40.5x，AE＝4＋0.5x，

∴∠AED＝30°，

∴AE＝2AD，

∴4＋0.5x＝2（40.5x），

∴x＝；

答：運(yùn)動(dòng)秒后，△ADE為直角三角形；

（2）作DG∥AB交BC于點(diǎn)G，

∴∠GDP＝∠BEP，∠DGP＝∠EBP，∠CDG＝∠A＝60°，∠CGD＝∠ABC＝60°，

∴∠C＝∠CDG＝∠CGD，

∴△CDG是等邊三角形，

∴DG＝DC，

∵DC＝BE，

∴DG＝BE．

在△DGP和△EBP中

，

∴△DGP≌△EBP（ASA），

∴DP＝PE．

∴在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P始終為線段DE的中點(diǎn)．