Question

【題目】如圖，有一個不定的正方形ABCD，它的兩個相對的頂點(diǎn)A，C分別在邊長為1的正六邊形一組對邊上，另外兩個頂點(diǎn)B，D在正六邊形內(nèi)部（包括邊界），則正方形邊長a的取值范圍是

Answer 1

【答案】
（ ）
【解析】解：因?yàn)锳C為對角線，故當(dāng)AC最小時(shí)，正方形邊長此時(shí)最小.
①當(dāng) A、C都在對邊中點(diǎn)時(shí)（如下圖所示位置時(shí)），顯然AC取得最小值，
∵正六邊形的邊長為1，
∴AC=,
∴a2+a2=AC2=.
∴a==.
②當(dāng)正方形四個頂點(diǎn)都在正六邊形的邊上時(shí)，a最大（如下圖所示）.
設(shè)A′（t,）時(shí)，正方形邊長最大.
∵OB′⊥OA′.
∴B′（- ， t）
設(shè)直線MN解析式為：y=kx+b,M（-1，0），N（- ， -）（如下圖）
∴.
∴.
∴直線MN的解析式為：y=（x+1）,
將B′（- ， t）代入得：t=-.
此時(shí)正方形邊長為A′B′取最大.
∴a==3-.
故答案為：≤a≤3-.

分情況討論.① 當(dāng)A、C都在對邊中點(diǎn)時(shí)，a最小.②當(dāng)正方形四個頂點(diǎn)都在正六邊形的邊上時(shí)，a最大.根據(jù)題意求出正方形對角線的長度，再根據(jù)勾股定理即可求出a.從而得出a的范圍.