Question

如圖，在?ABCD中，AB=6cm，AD=AC=5cm．點P由C出發(fā)沿CA方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，線段EF由AB出發(fā)沿AD方向勻速運動，速度為1cm/s，交AC于Q，連接PE、PF．若設(shè)運動時間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：
（1）試判斷△PEF的形狀，并請說明理由．
（2）當(dāng)0＜t＜2.5時，設(shè)△PEQ的面積為y（cm²），求出y（cm²）與t（s）之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)條件可以得出△AEP≌△CPF，從而得出PE=PF，就可以得出得出△PEF的形狀為等腰三角形；
（2）作PG⊥EF于G，就可以而出EG=3，由AB∥EF就可以得出

AE

AD

=

EQ

CD

就可以表示出EQ，近而表示出GQ和PQ，在Rt△PGQ中由勾股定理就可以表示出PG，根據(jù)三角形的面積公式就可以求出y與t的關(guān)系式．

解答：解：（1）△PEF為等腰三角形，
理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAC=∠BCA．
∵AE=BF=CP=t，
∴CF=DE．
∵AD=AC，
∴AC=BC，
∴AP=CF．
∵在△AEP和△CPF中，

AE=CP ∠DAC=∠BCA AP=CF

，
∴△AEP≌△CPF（SAS），
∴EP=PF．
∴△PEF為等腰三角形；

（2）作PG⊥EF于G，
∴EG=

1

2

EF．
∵AE∥BF，AB∥EF，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴AB=EF．
∵AB∥EF，AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴

AE

AD

=

EQ

CD

，
∴

t

5

=

EQ

6

，
∴EQ=

6

5

t，
∴GQ=3-

6

5

t．
∵CP=AQ=t，
∴PQ=5-2t，
在Rt△PGQ中，由勾股定理，得
PG=

(5-2t)2-(3- 6 5 t)2

，
=4-

8

5

t．
∵S△PQE=

1

2

EQ•PG，
∴y=

1

2

×

6

5

t×（4-

8

5

t），
=-

24

25

t²+

12

5

t（0＜t＜2.5）．
∴y與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=-

24

25

t²+

12

5

t（0＜t＜2.5）．

點評：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)的運用，等腰三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，平行線分線段成比例定理的運用，三角形的面積公式的運用，解答時運用相似表示出EQ的值和運用勾股定理表示PG的值是解答本題的難點和關(guān)鍵．