Question

如圖，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．
（1）請(qǐng)判斷四邊形EFGH的形狀？并說(shuō)明為什么．
（2）若使四邊形EFGH為正方形，那么四邊形ABCD的對(duì)角線應(yīng)具有怎樣的性質(zhì)？
（3）在（2）的條件下，若EF=2，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析：（1）連接四邊形的對(duì)角線，根據(jù)題目所給四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，可得四邊形對(duì)邊平行且相等，從而判斷平行四邊形；
（2）只要加對(duì)角線相等且互相垂直就可證明是正方形；
（3）在（2）的條件下可知四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直，對(duì)角線的乘積就是四邊形ABCD的面積．

解答：解：（1）連接四邊形的對(duì)角線，
∵E是AB的中點(diǎn)，H是AD的中點(diǎn)，
∴EH∥BD，EH=

1

2

BD
∵F是BC的中點(diǎn)，G是CD的中點(diǎn)
∴GF∥BD，GF=

1

2

BD
∴GF

∥

.

EH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．

（2）若加AC=BD且AC⊥BD，則四邊形EFGH會(huì)是正方形
在（1）的條件下，∵AC=BD
∴EF=FG=GH=HE
∴四邊形EFGH是菱形．
又∵AC⊥BD，EH∥BD，EF∥AC
∴∠HEF=90°
∴四邊形EFGH是正方形

（3）在（2）的條件下若EF=2，則AC=BD=4且BD⊥AC，若四邊形對(duì)角線垂直的話，四邊形的面積可以是對(duì)角線乘積的一半．
則

1

2

×4×4=8．
故四邊形ABCD的面積為8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平行四邊形的判定，正方形的判定以及如何求四變形的面積．