Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠B=α，在AB，BC上分別找一點(diǎn)E,F,使△DEF的周長最小，此時(shí)，∠EDF=______。（用含α的代數(shù)式表示）

Answer 1

【答案】180°2α

【解析】

根據(jù)要使△DEF的周長最小,即利用點(diǎn)的對(duì)稱,使三角形的三邊在同一直線上,作出D關(guān)于AB和BC的對(duì)稱點(diǎn)P,Q,結(jié)合四邊形的內(nèi)角和即可得出答案。

如圖，作點(diǎn)D關(guān)于BA的對(duì)稱點(diǎn)P，點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)Q，連接PQ，交AB于E，交BC于F，則點(diǎn)E，F即為所求。

∵四邊形ABCD中,∠A=∠C=90°，∠B=α，

∴∠PDQ=180°α，

在三角形PDQ中，∠P+∠Q=180°-∠PDQ =α，

∵點(diǎn)P與點(diǎn)D關(guān)于AB對(duì)稱，點(diǎn)D與點(diǎn)Q關(guān)于DQ對(duì)稱，

∴∠P=∠ADE，∠Q=∠FDQ

∴∠ADE+ FDQ=∠P+∠Q=α

∴∠EDF=∠PDQ-（∠ADE+ ∠FDQ）=180°2α