Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于點E，在BC上截取BF=AE，連接AF交CE于點G，連接DG交AC于點H，過點A作AN⊥BC，垂足為N，AN交CE于點M．則下列結論；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正確的個數是（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：如解答圖所示：
結論①正確：證明△ACM≌△ABF即可；
結論②正確：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，進而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF；
結論③正確：證法一：利用四點共圓；證法二：利用三角形全等；
結論④正確：證法一：利用四點共圓；證法二：利用三角形全等．
解答：解：（1）結論①正確．理由如下：
∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，
∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，
∴∠5=∠6，
∴AM=AE=BF．
易知ADCN為正方形，△ABC為等腰直角三角形，∴AB=AC．
在△ACM與△ABF中，
，
∴△ACM≌△ABF（SAS），
∴CM=AF；

（2）結論②正確．理由如下：
∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4，
∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°，
∴CE⊥AF；

（3）結論③正確．理由如下：
證法一：∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四點共圓，
∴∠7=∠2，∵∠2=∠4，
∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，
∴△ABF∽△DAH；
證法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，
∴△ACF為等腰三角形，AC=CF，點G為AF中點．
在Rt△ANF中，點G為斜邊AF中點，
∴NG=AG，∴∠MNG=∠3，∴∠DAG=∠CNG．
在△ADG與△NCG中，
，
∴△ADG≌△NCG（SAS），
∴∠7=∠1，又∵∠1=∠2=∠4，
∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，
∴△ABF∽△DAH；

（4）結論④正確．理由如下：
證法一：∵A、D、C、G四點共圓，
∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，
∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．
證法二：∵AM=AE，CE⊥AF，∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2
則∠CGN=180°-∠1-90°-∠MNG=180°-∠1-90°-∠3=90°-∠1-∠2=45°．
∵△ADG≌△NCG，
∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC，
∴GD平分∠AGC．

綜上所述，正確的結論是：①②③④，共4個．
故選D．
點評：本題是幾何綜合題，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定與性質、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知識點，有一定的難度．解答中四點共圓的證法，僅供同學們參考．