Question

【題目】如圖，正方形中，點是線段的中點，連接，點是線段上的動點，連接并延長交于點，連接并延長交或于點，

（1）如圖①，當點與點重合時，等于多少；

（2）如圖②，當點F是線段AB的中點時，求的值；

（3）如圖③，若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2） ；（3）．

【解析】

（1）先證明△ADP≌△CDP，得到∠DAP=∠DCP，再證明△ADE≌△CDO，得到DE=DO，根據(jù)O是AD的中點，AD=CD，即可得到答案；
（2）先證明△AFD≌△DOC，得到∠AFD=∠DOC，進而得到∠OPD=90°，即可得到△OPD∽△FAD，根據(jù)對應邊成比例得到,設AF=OD=x，則AD=2x，DF=，得到DP=，求出PF=，再證明△DEP∽△FAP，得到，根據(jù)AF=，即可得到答案；
（3）先證明△FCD≌△EDA，得到∠EAD=∠FDC，進而得到∠EPD=∠APD=90°，根據(jù)直角三角形的性質可得OP=OD=，設OD=OP=x，則CD=2x，OC=，可得PC=OC-OP=，根據(jù)△DPO∽△FPC，得到，進而得到，即可得到結論.

（1）如圖①中，

∵四邊形是正方形，

，

，，

≌，

，

，，

≌，

，

，

，

．

（2）如圖②中，連接．設．

，，，

，

，，

≌，

，

，

，

，

，

A，F，P，O四點共圓，

，

，

，，

，

，

，

．

（3）如圖③中，連接EF．設，．

，，，

≌ ，

，

，

，

，

，

，

，

，

E，C，F，P四點共圓，

，

，

，

∽，

，

，

，

或（舍棄），

，

．