Question

點(diǎn)A、B分別是兩條平行線m、n上任意兩點(diǎn)，在直線n上找一點(diǎn)C，使BC=kAB，連接AC，在直線AC上任取一點(diǎn)E，作∠BEF=∠ABC，EF交直線m于點(diǎn)F．
（1）如圖1，當(dāng)k=1時(shí)，探究線段EF與EB的關(guān)系，并加以說明；
說明：①如果你經(jīng)過反復(fù)探索沒有解決問題，請寫出探索過程（要求至少寫三步）；
②在完成①之后，可以自己添加條件（添加的條件限定為∠ABC為特殊角），在圖2中補(bǔ)全圖形，完成證明（選擇添加條件比原題少得3分）．
（2）如圖3，若∠ABC=90°，k≠1，探究線段EF與EB的關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先以E為圓心，以EA為半徑畫弧交直線m于點(diǎn)M，連接EM，進(jìn)而得出△AEB≌△MEF，即可得出答案；也可以選擇添加條件∠ABC=90°，得出△MAE≌△ABE，進(jìn)而得出答案；
（2）首先過點(diǎn)E作EM⊥m、EN⊥AB，垂足為M、N，證明△MEF∽△NEB，得出

AN

EN

=

EF

EB

，即可得出tan∠BAC=

EN

AN

=

BC

AB

=k，即EF=

1

k

EB．

解答：解：（1）EF=EB．
證明：如圖1，以E為圓心，以EA為半徑畫弧交直線m于點(diǎn)M，連接EM．
∴EM=EA，
∴∠EMA=∠EAM． 
∵BC=kAB，k=1，
∴BC=AB． 
∴∠CAB=∠ACB． 
∵m∥n，
∴∠MAC=∠ACB，∠FAB=∠ABC．
∴∠MAC=∠CAB． 
∴∠CAB=∠EMA． 
∵∠BEF=∠ABC，
∴∠BEF=∠FAB． 
∵∠AHF=∠EHB，
∴∠AFE=∠ABE． 
在△AEB和△MEF中，
∵

∠CAB=∠EMA ∠ABE=∠AFE EA=EM

∴△AEB≌△MEF（AAS）． 
∴EF=EB． 
探索思路：
如圖1，∵BC=kAB，k=1，
∴BC=AB． 
∴∠CAB=∠ACB．
∵m∥n，
∴∠MAC=∠ACB． 

添加條件：∠ABC=90°．
證明：如圖2，在直線m上截取AM=AB，連接ME．
∵BC=kAB，k=1，
∴BC=AB．
∵∠ABC=90°，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∵m∥n，
∴∠MAE=∠ACB=∠CAB=45°，∠FAB=90°．
∵AE=AE，
∴△MAE≌△ABE． 
∴EM=EB，∠AME=∠ABE． 
∵∠BEF=∠ABC=90°，
∴∠FAB+∠BEF=180°．
∴∠ABE+∠EFA=180°，
又∵∠AME+∠EMF=180°，
∴∠EMF=∠EFA． 
∴EM=EF．
∴EF=EB． 

（2）EF=

1

k

EB．
證明：如圖3，過點(diǎn)E作EM⊥m、EN⊥AB，垂足為M、N．
∴∠EMF=∠ENA=∠ENB=90°．
∵m∥n，∠ABC=90°，
∴∠MAB=90°． 
∴四邊形MENA為矩形．
∴ME=NA，∠MEN=90°．
∵∠BEF=∠ABC=90°．
∴∠MEF=∠NEB． 
∴△MEF∽△NEB． 
∴

ME

EN

=

EF

EB

，
∴

AN

EN

=

EF

EB

．
在Rt△ANE和Rt△ABC中，tan∠BAC=

EN

AN

=

BC

AB

=k，
∴

EB

EF

=k，
∴EF=

1

k

EB．

點(diǎn)評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)已知得出△MEF∽△NEB進(jìn)而得出tan∠BAC=

EN

AN

=

BC

AB

=k是解題關(guān)鍵．