Question

操作：如圖1，在正方形ABCD中，∠EAF=45°根據(jù)要求畫(huà)出圖形并解答：

（1）將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△AD′F′，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出△AD′F′；
（2）連接EF，寫(xiě)出圖中的兩對(duì)全等三角形，并說(shuō)明理由；
探究：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，將一塊含45°的三角板按如圖所示的位置擺放，銳角頂點(diǎn)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，分別交正方形的邊于E、F兩點(diǎn)．
（1）當(dāng)EF=5時(shí)，求△AEF的面積
（2）求此時(shí)的旋轉(zhuǎn)角∠BAE的正切值．

Answer 1

分析：（1）畫(huà)圖如圖所示．就是△ADF旋轉(zhuǎn)到△ABF的位置；
（2）全等的三角形有：①△ADF≌△ABF'，②△AEF≌△AEF'．其中△ADF≌△ABF'由旋轉(zhuǎn)直接可以得到；由△ADF≌△ABF'可以知道：AF=AF'∠BAF'=∠DAF，根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到AB=CD，∠BAD=90°，而∠EAF=45°，所以可以得到∠F'AE=∠EAF，即可以證明△AEF'≌△AEF；
探究（1）延長(zhǎng)EB至F'，使BF'=DF，連接AF'，EF．根據(jù)操作可以知道△AEF'≌△AEF，由此推出EF=EF'，所以△AEF的面積就是△AEF'的面積，而它的面積可以求出，也就求出了△AEF的面積；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EF，垂足為M，由（1）推出AB=AM，即可以證明Rt△ABE≌Rt△AME，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可以得到BE=EM，令BE=EM=x，然后用x分別表示BF′=FM=5-x=DF，CF=1+x，EC=BC-BE=6-x，然后在Rt△EFC中根據(jù)勾股定理得到EF²=EC²+FC²，由此建立關(guān)于x的方程，解方程求出x，也就可以求出旋轉(zhuǎn)角∠BAE的正切值．

解答：解：操作：（1）畫(huà)圖如圖所示．（1分）

（2）全等的三角形有：①△ADF≌△ABF′，②△AEF≌△AEF′．（2分

證明：①∵△ADF繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ABF'，
∴△ADF≌△ABF'．（3分）
②在正方形ABCD中，
AB=CD，∠BAD=90°．
又∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°．
又∵△ADF≌△ABF′，
∴AF=AF′∠BAF′=∠DAF，
∴∠BAF′+∠BAE=45°，
即∠F'AE=45°，
∴∠F′AE=∠EAF．
在△AEF′與△AEF中，
AF'=AF，∠F'AE=∠EAF，AE=AE，
∴△AEF′≌△AEF．（6分）

（2）探究：①延長(zhǎng)EB至F′，使BF'=DF，連接AF′，EF．
由操作知：△AEF′≌△AEF，
∴EF=EF′，（8分）
則S△AEF′=

1

2

EF×AB=

1

2

×5×6=15．（9分
②過(guò)點(diǎn)A作AM⊥EF，垂足為M．

∵△AEF'≌△AEF，
∴AB=AM．
在Rt△ABE與Rt△AME中

AB=AM AE=AE

，
∴Rt△ABE≌Rt△AME，（10分）
∴BE=EM．
令BE=EM=x，
∴BF′=FM=5-x，
又∵BF′=DF，
∴DF=5-x，
∴FC=6-（5-x）=1+x．
EC=BC-BE=6-x，
在Rt△EFC中EF²=EC²+FC²，
∴25=（6-x）²+（1+x）²，
∴x₁=2，x₂=3，
即BE=2或BE=3．
又∵AB=6，
∴tan∠BAE=

1

3

或tan∠BAE=

1

2

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查正方形的性質(zhì)，利用正方形的性質(zhì)來(lái)探究圖形的變換規(guī)律．