Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，頂點D，C分別在AM，BN上運動（點D不與A重合，點C不與B重合），E是AB上的動點（點E不與A，B重合），在運動過程中始終保持DE⊥CE，且AD+DE=AB=a．
（1）求證：△ADE∽△BEC；
（2）當點E為AB邊的中點時（如圖2），求證：①AD+BC=CD；②DE，CE分別平分∠ADC，∠BCD；
（3）設(shè)AE=m，請?zhí)骄浚骸鰾EC的周長是否與m值有關(guān)，若有關(guān)請用含m的代數(shù)式表示△BEC的周長；若無關(guān)請說明理由．

Answer 1

分析：（1）∠A=∠D=90°，然后利用∠DEC=90°得到∠AED=∠ECB，這樣就可以證明△ADE∽△BEC；
（2）過點E作梯形兩底的平行線交腰CD于F，則F是CD的中點，然后利用梯形的中位線就可以證明①和②；
（3）主要利用（1）中的相似三角形帶來的比例線段和勾股定理解題．

解答：（1）證明：∵梯形ABCD是直角梯形
∴∠A=∠B=90°
又∵∠DEC=90°
∴∠AED+∠BEC=90°
∵∠BEC+∠BCE=90°
∴∠AED=∠BCE
∴△ADE∽△BEC

（2）證明：過點E作EF∥AD，交CD于F，則EF既是梯形ABCD的中位線，又是Rt△DEC斜邊上的中線．
∵AD+BC=2EF，CD=2EF
∴AD+BC=CD
∵FD=FE=

1

2

CD
∴∠FDE=∠FED
∵EF∥AD
∴∠ADE=∠FED
∴∠FDE=∠ADE，即DE平分∠ADC
同理可證：CE平分∠BCD

（3）解：設(shè)AD=x，由已知AD+DE=AB=a得DE=a-x，又AE=m
在Rt△AED中，由勾股定理得：x²+m²=（a-x）²，化簡整理得：a²-m²=2ax①
在△EBC中，由AE=m，AB=a，得BE=a-m
因為△ADE∽△BEC，所以

AD

BE

=

AE

BC

=

DE

EC

，
即：

x

a-m

=

m

BC

=

a-x

EC

，
解得：BC=

(a-m)m

x

，EC=

(a-m)(a-x)

x

所以△BEC的周長=BE+BC+EC=(a-m)+

(a-m)m

x

+

(a-m)(a-x)

x

=(a-m)(1+

m

x

+

a-x

x

)=(a-m)•

a+m

x

=

a2-m2

x

②
把①式代入②，得△BEC的周長=BE+BC+EC=

2ax

x

=2a
所以△BEC的周長與m無關(guān)．

點評：此題主要考查了梯形的中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及直角三角形的性質(zhì)等知識點的綜合運用．