Question

【題目】如圖，E是矩形ABCD邊AD上一點(diǎn)，以DE為直徑向矩形內(nèi)部作半圓O，AB=4，OD=2，點(diǎn)G在矩形內(nèi)部，且∠GCB=30°，GC=2，過(guò)半圓�。ê�點(diǎn)D，E）上動(dòng)點(diǎn)P作PF⊥AB于點(diǎn)F．當(dāng)△PFG是等邊三角形時(shí)，PF的長(zhǎng)是___．

Answer 1

【答案】4或6

【解析】

分兩種情況：①作輔助線，構(gòu)建直角三角形和等邊三角形，先根據(jù)直角三角形30°的性質(zhì)求GN的長(zhǎng)，再證明D、P、G在一直線上，得△ODP是等邊三角形，則PQ=，由此求出等邊三角形PFG的高線GH的長(zhǎng)，最后利用特殊的三角函數(shù)值求出邊長(zhǎng)．

②同理可得結(jié)論．

分兩種情況：

①當(dāng)P在正方形內(nèi)部時(shí)，如圖1，過(guò)G作GH⊥PF于H，交AD于M，BC于N，

∵△PFG是等邊三角形，

∴∠PGH=∠PGF=×60°=30°，

Rt△CGN中，∵∠GCB=30°，CG=2，

∴GN=CG=，

∠CGN=60°，

∴∠CGP=180°-30°-60°=90°，

延長(zhǎng)GP交直線CD于D′，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BCD=90°，

∴∠DCG=60°，

∴∠CD′G=30°，

∴D′C=2CG=4，

∵CD=AB=4，

∴D與D′重合，

∴∠ADG=60°，

連接OP，過(guò)P作PQ⊥AD于Q，

∵OD=OP=2，

∴△ODP是等邊三角形，

∴PQ=，

∴GH=4--=2，

Rt△PHG中，cos30°=，

∴PG=，

∴PF=PG=4，

②當(dāng)P與D重合，則F與A重合，如圖2，

過(guò)G作MN⊥BC，交AD于M，交BC于N，

若△PFG是等邊三角形時(shí)，同理得：GN=，∠DGM=30°，

則MG=3，

∴DG=6，DM=3，

∴AD=6，

即PF=6，

綜上所述，PF為4或6，

故答案為：4或6．