Question

已知，如圖1，拋物線過點(diǎn)且對稱軸為直線點(diǎn)Ｂ為直線OA下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為m.

（1）求該拋物線的解析式：
（2）若的面積為S．求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．
（3）如圖2，過點(diǎn)B作直線軸，交線段OA于點(diǎn)C，在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)D，使是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；
（2）S，；
（3）存在，點(diǎn)B為或

試題分析：（1）根據(jù)拋物線過點(diǎn)且對稱軸為直線即可求得結(jié)果；
（2）過點(diǎn)B作軸，交于點(diǎn)，則可得直線為，則可設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)即可表示出BH，再根據(jù)三角形的面積公式即可表示出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得最大值；
（3）設(shè)在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)D滿足題意，過點(diǎn)D作于點(diǎn)Q，則由(2)有點(diǎn)，點(diǎn)B，即可表示BC，由△BCD是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形可得，則可得且，再結(jié)合絕對值的性質(zhì)分類討論即可.
（1）由題知：解之，得
該拋物線的解析式為：
（2）過點(diǎn)B作軸，交于點(diǎn)由題知直線為：
設(shè)點(diǎn)點(diǎn)



 
（3）設(shè)在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)D滿足題意，
過點(diǎn)D作于點(diǎn)Q，則由(2)有點(diǎn)，點(diǎn)B

是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形
即是：且
若解之：（舍去），
時(shí)，

若解之：（舍去）
當(dāng)時(shí),

綜上，滿足條件的點(diǎn)B為或.
點(diǎn)評：本題是一道綜合性的題目，主要考查了學(xué)生對二次函數(shù)的綜合應(yīng)用能力，是中考壓軸題，難度較大．