Question

【題目】如圖，矩形中，，，點(diǎn)分別在邊，上，點(diǎn)分別在，上，，交于點(diǎn)，記.

（1）若的值是1，當(dāng)時(shí)，求的值.

（2）若的值是，求的最大值和最小值.

（3）若的值是3，當(dāng)點(diǎn)是矩形的頂點(diǎn)，，時(shí)，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值為，最小值為；（3）的值為或.

【解析】

（1）作EH⊥BC于H，MQ⊥CD于Q，設(shè)EF交MN于點(diǎn)O．證明△FHE≌△MQN（ASA），即可解決問題．

（2）由題意：2a≤MN≤a，a≤EF≤a，當(dāng)MN的長取最大時(shí)，EF取最短，此時(shí)k的值最大，最大值=，當(dāng)MN的最短時(shí)，EF的值取最大，此時(shí)k的值最小，最小值為．

（3）連接FN，ME．由k=3，MP=EF=3PE，推出，推出，由△PNF∽△PME，推出=2，ME∥NF，設(shè)PE=2m，則PF=4m，MP=6m，NP=12m，接下來分兩種情形①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)M恰好與B重合．②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)N與C重合，分別求解即可．

（1）作，，如圖1.

∵四邊形為正方形，

∴，，∴.

∵，

∴，，

∴，∴，

∴.

（2）∵，∴.

由題意得，，，

當(dāng)取最長時(shí)，可取到最短，此時(shí)的值最大，最大值為，

當(dāng)取最短時(shí)，可取到最長，此時(shí)的值最小，最小值為.

（3）連結(jié)，，

∵，，

∴，∴，

∴，

∴，.

設(shè)，則，，.

①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)， 如圖2，點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，

∴，，，

∴.

②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖3，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

則，，

∴，

∴.

∵，

∴.

又∵，

∴，∴，

∴.

綜上所述，的值為或.