Question

【題目】如圖，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，過點(diǎn)C作CD⊥AC交AB于點(diǎn)D．

（1）尺規(guī)作圖：過A，D，C三點(diǎn)作⊙O（只要求作出圖形，保留痕跡，不要求寫作法）；

（2）求證：BC是過A，D，C三點(diǎn)的圓的切線．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）由已知得到△ACD是直角三角形，那么過A，D，C三點(diǎn)作⊙O，根據(jù)圓周角是直角所對(duì)的弦是直徑得，AD為⊙O的直徑，所以作AD的中點(diǎn)O即為圓心，再以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑即可作出⊙O．

（2）先連接OC，已知已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，能求出∠ACB=120°，在⊙O中OA=OC，得到，∠ACO=∠A=30°，那么∠BCO=∠ACB﹣∠ACO=120°﹣30°=90°，從而推出BC是過A，D，C三點(diǎn)的圓的切線．

試題解析：（1）作出圓心O，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作圓；

（2）證明：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°，∴AD是⊙O的直徑

連接OC，∵∠A=∠B=30°，∴∠ACB=120°，又∵OA=OC，∴∠ACO=∠A=30°，∴∠BCO=∠ACB﹣∠ACO=120°﹣30°=90°，∴BC⊥OC，∴BC是⊙O的切線．