Question

（2013•昌平區(qū)二模）（1）如圖1，以AC為斜邊的Rt△ABC和矩形HEFG擺放在直線l上（點(diǎn)B、C、E、F在直線l上），已知BC=EF=1，AB=HE=2．△ABC沿著直線l向右平移，設(shè)CE=x，△ABC與矩形HEFG重疊部分的面積為y（y≠0）．當(dāng)x=

3

5

時(shí)，求出y的值；
（2）在（1）的條件下，如圖2，將Rt△ABC繞AC的中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與Rt△ABC形成一個(gè)新的矩形ABCD，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)E的左側(cè)，且x=2時(shí)，將矩形ABCD繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，將矩形HEFG繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)相同的角度．若旋轉(zhuǎn)到頂點(diǎn)D、H重合時(shí)，連接AG，求點(diǎn)D到AG的距離；
（3）在（2）的條件下，如圖3，當(dāng)α=45°時(shí)，設(shè)AD與GH交于點(diǎn)M，CD與HE交于點(diǎn)N，求證：四邊形MHND為正方形．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)tan∠PCE=tan∠ACB得出

PE

EC

=

AB

BC

=2．求出PE=

6

5

，根據(jù)三角形面積公式求出即可；
（2）作DK⊥AG于點(diǎn)K，得出等邊三角形DCE，求出∠CDE=60°，求出∠ADG=120°，求出∠DAK=30°，求出DK即可；
（3）根據(jù)∠NCE=∠NEC=45°求出∠HND=∠CNE=90°，得出矩形HNDM，求出HN=DN，根據(jù)正方形判定推出即可．

解答：（1）解：如圖1，當(dāng)x=

3

5

時(shí)，設(shè)AC與HE交與點(diǎn)P．

由已知易得∠ABC=∠HEC=90°．
∴tan∠PCE=tan∠ACB．
∴

PE

EC

=

AB

BC

=2．
∴PE=

6

5

，
∴y=

1

2

•EP•CE=

1

2

×

6

5

×

3

5

=

9

25

．

（2）解：如圖2，作DK⊥AG于點(diǎn)K，

∵CD=CE=DE=2，
∴△CDE是等邊三角形，
∴∠CDE=60°．
∴∠ADG=360°-2QUOTE90°-60°=120°，
∵AD=DG=1，
∴∠DAG=∠DGA=30°，
∴DK=

1

2

DG=

1

2

，
∴點(diǎn)D到AG的距離為

1

2

．

（3）解：如圖3，

∵α=45°，
∴∠NCE=∠NEC=45°，
∴∠CNE=90°，
∴∠DNH=90°，
∵∠D=∠H=90°，
∴四邊形MHND是矩形，
∵CN=NE，CD=HE，
∴DN=NH，
∴矩形MHND是正方形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形性質(zhì)和判定，正方形判定，含30度角的直角三角形，三角形內(nèi)角和定理，三角形的面積，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．