Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=15厘米，AD=5厘米．點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，沿CD運(yùn)動(dòng)，速度是1.5厘米/秒，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)，速度是1厘米/秒，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）如圖1，在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在四邊形AQPD為菱形的情況？請(qǐng)說明理由．
（2）如圖2，若平行四邊形ABCD邊AB上的高為3厘米，當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，四邊形AQPD為等腰梯形？

Answer 1

分析：（1）在運(yùn)動(dòng)過程中不存在四邊形AQPD為菱形的情況，因?yàn)槿羲倪呅蜛QPD為菱形則必須DP=AQ=AD，其中通過已知條件的計(jì)算AQ≠AD，所以四邊形AQDP不能為菱形；
（2）設(shè)當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，四邊形AQPD為等腰梯形，過D，P分別作DM⊥AQ，PN⊥AQ，若四邊形AQPD為等腰梯形，則AM=NQ，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出AM的長(zhǎng)，進(jìn)而建立關(guān)于t的方程，解方程求出t的值即可．

解答：解：（1）在運(yùn)動(dòng)過程中不存在四邊形AQPD為菱形的情況，
理由如下：
若四邊形AQPD為菱形則必須DP=AQ=AD，
設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x，則DP=DC-PC=15-1.5x，AQ=x，
∵DP=AQ，
∴15-1.5x=x，
解得：x=6，
此時(shí)AQ=6，
∵AD=5≠AQ，
∴四邊形AQPD不為菱形，
∴在運(yùn)動(dòng)過程中不存在四邊形AQPD為菱形的情況；
（2）過D，P分別作DM⊥AQ，PN⊥AQ，則四邊形DMNP是矩形，
∴DP=MN，
若四邊形AQPD為等腰梯形，則AM=NQ，
在Rt△ADM中，AD=5，DM=3，
∴AM=

52-32

=4，
∵AQ=t，DP=15-1.5t，
∴AM=

t-(15-1.5t)

2

=4，
解得：t=9.2秒，
答：當(dāng)P，Q運(yùn)動(dòng)9.2秒時(shí)，四邊形AQPD為等腰梯形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定、矩形的判定和性質(zhì)、等腰梯形的判定以及勾股定理的運(yùn)用，題目的綜合性很強(qiáng)，難度中等．