Question

4、把1，2，3…，127，128這128個數(shù)任意排列為a₁，a₂，…，a₁₂₈，計算出|a₁-a₂|，|a₃-a₄|，…，|a₁₂₇-a₁₂₈|，再將這64個數(shù)任意排列為b₁，b₂，…，b₆₄，計算|b₁-b₂|，|b₃-b₄|，…，|b₆₃-b₆₄|．如此繼續(xù)下去，最后得到一個數(shù)x，問x是奇數(shù)還是偶數(shù)？

Answer 1

分析：對于一個整數(shù)a，有|a|≡a（mod2），a≡-a（mod2），則b₁+b₂+…+b₆₄≡a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₁₂₇+a₁₂₈（mod2），因此，每經(jīng)過一次“運算”，這些數(shù)的和的奇偶性是不改變的．最終得到的一個數(shù)x≡a₁+a₂+…+a₁₂₈≡0（mod2），故x的奇偶性可知．

解答：解：因為對于一個整數(shù)a，有
|a|≡a（mod2），a≡-a（mod2），
所以b₁+b₂+…+b₆₄
=|a₁-a₂|+|a₃-a₄|+…+|a₁₂₇-a₁₂₈|
≡a₁-a₂+a₃-a₄+…+a₁₂₇-a₁₂₈
≡a₁+a₂+a₃+a₄+…+a₁₂₇+a₁₂₈（mod2），
因此，每經(jīng)過一次“運算”，這些數(shù)的和的奇偶性是不改變的．最終得到的一個數(shù)
x≡a₁+a₂+…+a₁₂₈
=1+2+…+128
=64×129
≡0（mod2），
故x是偶數(shù)．

點評：本題考查了同余問題．如果要求一個整數(shù)除以某個正整數(shù)的余數(shù)，同余是一個有力的工具．另外，求一個數(shù)的末位數(shù)字就是求這個數(shù)除以10的余數(shù)，求一個數(shù)的末兩位數(shù)字就是求這個數(shù)除以100的余數(shù)．