Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于點E，AE=BE，D是AE上的一點，且DE=CE，連接BD，CD.

（1）試判斷BD與AC的位置關系和數(shù)量關系，并說明理由；

（2）如圖2，若將△DCE繞點E旋轉一定的角度后，試判斷BD與AC的位置關系和數(shù)量關系是否發(fā)生變化，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）BD⊥AC,BD=AC（2）BD⊥AC,BD=AC

【解析】試題分析：

（1）延長BD交AC于點F，用SAS證明△BDE≌△ACE即可解題；

（2）用SAS證明△BDE≌△ACE可得BD=AC，再證∠AFB=90°即可.

（1）BD⊥AC,BD=AC.

試題解析：

證明：延長BD交AC于點F. ∵AE⊥BC于點E, ∴∠BED=∠AEC=90°.又AE=BE,DE=CE, ∴△DBE≌△CAE(SAS). ∴BD=AC, ∠DBE=∠CAE,∠BDE=∠ACE. ∵∠BDE=∠ADF, ∴ ∠ADF=∠ACE. ∵∠ACE+∠CAE=90°, ∴∠ADF+∠CAE=90°. ∴BD⊥AC.

（2）BD⊥AC,BD=AC.

證明： ∵∠AEB=∠DEC=90°, ∴∠AEB+∠AED=∠DEC+∠AED,即∠BED=∠AEC.又AE=BE,DE=CE, ∴△DBE≌△CAE(SAS). ∴BD=AC, ∠DBE=∠CAE,∠BDE=∠ACE. ∵∠BFC=∠ACD+∠CDE +∠BDE=∠ACD+∠CDE +∠ACE=∠ECD+∠CDE=90°, ∴BD⊥AC.