Question

【題目】如圖1，拋物線經(jīng)過點、兩點，是其頂點，將拋物線繞點旋轉(zhuǎn)，得到新的拋物線．

（1）求拋物線的函數(shù)解析式及頂點的坐標；

（2）如圖2，直線經(jīng)過點，是拋物線上的一點，設(shè)點的橫坐標為（），連接并延長，交拋物線于點，交直線l于點，，求的值；

（3）如圖3，在（2）的條件下，連接、，在直線下方的拋物線上是否存在點，使得？若存在，求出點的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），頂點為：；（2）的值為﹣3；（3）存在，點的橫坐標為：或．

【解析】

（1）運用待定系數(shù)法將、代入中，即可求得和的值和拋物線解析式，再利用配方法將拋物線解析式化為頂點式即可求得頂點的坐標；

（2）根據(jù)拋物線繞點旋轉(zhuǎn)，可求得新拋物線的解析式，再將代入中，即可求得直線解析式，根據(jù)對稱性可得點坐標，過點作軸交直線于，過作軸交直線于，由，即可得，再證明∽，即可得，建立方程求解即可；

（3）連接，易證是，，可得，在軸下方過點作，在上截取，過點作軸于，連接交拋物線于點，點即為所求的點；通過建立方程組求解即可．

（1）將、代入中，得

解得

∴拋物線解析式為：，

配方，得：，∴頂點為：；

（2）∵拋物線繞點旋轉(zhuǎn)，得到新的拋物線．

∴新拋物線的頂點為：，二次項系數(shù)為：

∴新拋物線的解析式為：

將代入中，得，解得，

∴直線解析式為，

∵，

∴直線的解析式為，

由拋物線與拋物線關(guān)于原點對稱，可得點、V關(guān)于原點對稱，

∴

如圖2，過點作軸交直線于，過作軸交直線于，

則，，

∴，，

∵

∴，

∵軸，軸

∴

∴∽

∴，即

∴

解得：，，

∵

∴的值為：﹣3；

（3）由（2）知：，

∴，，，

如圖3，連接，在中，∵，，

∴

∴是直角三角形，，

∴，

∵

∴，

在軸下方過點作，在上截取，

過點作軸于，連接交拋物線于點，點即為所求的點；

∵，

∴

∵

∴

∴，設(shè)直線解析式為，

則，解得

∴直線解析式為，

解方程組，得，，

∴點的橫坐標為：或．