Question

【題目】兩個(gè)三角板ABC，DEF按如圖所示的位置擺放，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，邊AB與邊DE在同一條直線上(假設(shè)圖形中所有的點(diǎn)、線都在同一平面內(nèi))，其中，∠C＝∠DEF＝90°，∠ABC＝∠F＝30°，AC＝DE＝4 cm.現(xiàn)固定三角板DEF，將三角板ABC沿射線DE方向平移，當(dāng)點(diǎn)C落在邊EF上時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)三角板平移的距離為(cm)，兩個(gè)三角板重疊部分的面積為 (cm2)．

(1)當(dāng)點(diǎn)C落在邊EF上時(shí)，＝________cm；

(2)求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍；

(3)設(shè)邊BC的中點(diǎn)為點(diǎn)M，邊DF的中點(diǎn)為點(diǎn)N，直接寫(xiě)出在三角板平移過(guò)程中，點(diǎn)M與點(diǎn)N之間距離的最小值．

Answer 1

【答案】(1)10;(2)見(jiàn)解析；（3） .

【解析】（1）由銳角三角函數(shù)，得到BG的長(zhǎng)，進(jìn)而得出GE的長(zhǎng)，又矩形的性質(zhì)可求解；

（2）分類討論：①當(dāng)0≤t＜4時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式可得答案；②當(dāng)4≤t＜8時(shí)，③當(dāng)時(shí)，根據(jù)面積的和差求解；

（3）根據(jù)點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線中垂線段最短，可得M在線段NG上，根據(jù)三角形的中位線，可得NG的長(zhǎng)，根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得MG的長(zhǎng)，然后根據(jù)線段的和差求解.

詳解:（1）如圖：

作CG⊥AB于G點(diǎn)．

在Rt△ABC中，由AC=4，∠ABC=30，得

BC==4．

在Rt△BCG中，BG=BCcos30°=6．

四邊形CGEH是矩形，

CH=GE=BG+BE=6+4=10cm，

故答案為：10 .

（2）①當(dāng)時(shí)，如解圖

∵∠GDB＝60°，∠GBD＝30°，

∴DB＝x，DG＝x，BG＝x，

重疊部分的面積y＝DG·BG＝×x×x＝x2　　　　　　

②時(shí)，如解圖

BD＝x，DG＝x，BG＝x，BE＝x－4，

EH＝ (x－4)

重疊部分的面積y＝S△BDG－S△BEH＝DG·BG－BE·EH，

即y＝×x×x－ (x－4)× (x－4)，　　　　　　　　　　　　

化簡(jiǎn)得：

③當(dāng)時(shí)，如解圖

AC＝4，BC＝4，BD＝x，BE＝x－4，

EG＝ (x－4) 　　　

重疊部分的面積y＝S△ABC－S△BEG＝AC·BC－BE·EG，

即y＝×4×4－ (x－4)× (x－4)，

化簡(jiǎn)得：

綜上所述，

（3）