Question

如圖，正方形ABCD的兩條對(duì)角線交于點(diǎn)O．
（1）若H為OC上一點(diǎn)，過(guò)A作BH的垂線，垂足為E，AE與BO相交于點(diǎn)G．試探索OH與OG的數(shù)量關(guān)系，并證明；
（2）若點(diǎn)H在OC的延長(zhǎng)線上，過(guò)A作BH的垂線，交HB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，直線AE與OB相交于點(diǎn)G．（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）OH=OG．
證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AO=B0，B0⊥AC（正方形兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分），
∴∠AOG=∠BOH=90°，（2分）
則∠OAG+∠OGA=90°，又AE⊥BH，
∴∠AEB=90°，則∠OBH+∠BGE=90°，
而∠OGA=∠BGE，
∴∠OAG=∠OBH，（4分）
∴△OAG≌△OBH（ASA），
則OH=OG；（6分）

（2）OH=OG成立．（無(wú)此步不扣分）（7分）
證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AO=BO，BO⊥AC，
∴∠AOG=∠BOH=90°（8分）
則∠H+∠HBO=90°，又AE⊥BH，
∴∠GEB=90°，則∠G+∠GBE=90°，
又∠HBO=∠GBE，
∴∠H=∠G（9分）
∴△AOG≌△BOH．（AAS）
則OG=OH．（11分）
分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)對(duì)角線垂直且平分，得到OB與OA相等且垂直，又因?yàn)锳G垂直于BH，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得到：∠OAG+∠OGA=90°，∠OBH+∠BGE=90°，再根據(jù)等角的余角相等得到∠OAG=∠OBH，從而利用“ASA”證出Rt△BOH≌Rt△AOG，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到OG=OH；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到OB與OA相等且垂直，根據(jù)直角三角形的兩銳角互余得到：∠H+∠HBO=90°，∠G+∠EBG=90°，再根據(jù)等角的余角相等得到∠G=∠H，從而利用“AAS”證出Rt△BOH≌Rt△AOG，由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到OG=OH．
點(diǎn)評(píng)：本題考查正方形的性質(zhì)，以及三角形全等的判定與性質(zhì)，是一道結(jié)論探索性問(wèn)題．解答此類題我們要從變化中探究不變的數(shù)學(xué)本質(zhì)，再?gòu)牟蛔兊臄?shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)，尋求變化的規(guī)律，通過(guò)觀察、試驗(yàn)、歸納、類比等獲得數(shù)學(xué)猜想，并對(duì)所作的猜想進(jìn)行嚴(yán)密的邏輯論證，考查了學(xué)生對(duì)知識(shí)的遷移能力，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．