Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸，y軸分別交于點A（2，0）, B（0，4）.

（1）求直線AB的解析式；

（2）若點M為直線y=mx在第一象限上一點，且△ABM是等腰直角三角形，求m的值．

（3）如圖3，過點A（2，0）的直線交y軸負半軸于點P，N點的橫坐標為-1，過N點的直線交AP于點M.求的值.

Answer 1

【答案】（1）y=﹣2x+4；（2）m的值是或或1；（3）2.

【解析】

（1）設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，代入得到方程組，求出即可；

（2）當BM⊥BA，且BM=BA時，過M作MN⊥y軸于N，證△BMN≌△ABO（AAS），求出M的坐標即可；②當AM⊥BA，且AM=BA時，過M作MN⊥x軸于N，同法求出M的坐標；③當AM⊥BM，且AM=BM時，過M作MN⊥x軸于N，MH⊥y軸于H，證△BHM≌△AMN，求出M的坐標即可．

（3）設(shè)NM與x軸的交點為H，分別過M、H作x軸的垂線垂足為G，HD交MP于D點，求出H、G的坐標，證△AMG≌△ADH，△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，推出PN=PD=AD=AM代入即可求出答案．

（1） ∵A（2，0），B（0，4），

設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，

代入得：，

解得：k=﹣2，b=4，

∴直線AB的解析式是y=﹣2x+4．

（2）如圖，分三種情況：

①如圖①，當BM⊥BA，且BM=BA時，過M作MN⊥y軸于N，

∵BM⊥BA，MN⊥y軸，OB⊥OA，

∴∠MBA=∠MNB=∠BOA=90°，

∴∠NBM+∠NMB=90°，∠ABO+∠NBM=90°，

∴∠ABO=∠NMB，

在△BMN和△ABO中

，

∴△BMN≌△ABO（AAS），

MN=OB=4，BN=OA=2，

∴ON=2+4=6，

∴M的坐標為（4，6 ），

代入y=mx得：m=，

②如圖②，當AM⊥BA，且AM=BA時，過M作MN⊥x軸于N，

易知△BOA≌△ANM（AAS），

同理求出M的坐標為（6，2），

代入y=mx得：m=，

③如圖③，

當AM⊥BM，且AM=BM時，過M作MN⊥X軸于N，MH⊥Y軸于H，

∴四邊形ONMH為矩形，

易知△BHM≌△AMN，

∴MN=MH，

設(shè)M（x1，x1）代入y=mx得：x1=m x1，

∴，

答：m的值是或或1．

（3）如圖3，設(shè)NM與x軸的交點為H，過M作MG⊥x軸于G，過H作HD⊥x軸，

HD交MP于D點，

即：∠MGA=∠DHA=900，連接ND，ND 交y軸于C點

由與x軸交于H點，∴H（1，0），

由與y=kx﹣2k交于M點，∴M（3，k），

而A（2，0），

∴A為HG的中點，AG=AH，∠MAG=∠DAH

∴△AMG≌△ADH（ASA），∴AM=AD

又因為N點的橫坐標為﹣1，且在上，

∴N（-1，﹣k），同理D（1，﹣k）

∴N關(guān)于y軸對稱點為D

∴PC是ND的垂直平分線∴PN=PD, CD=NC=HA=1，∠DCP=∠DHA=900，ND平行于X軸

∴∠CDP=∠HAD

∴△ADH≌△DPC ∴AD= PD

∴PN=PD=AD=AM，

∴．