Question

15、在18×18的方格紙上的每個(gè)方格中均填入一個(gè)彼此不相等的正整數(shù)．求證：無論哪種填法，至少有兩對(duì)相鄰小方格（有一條公共邊的兩個(gè)小方格稱為一對(duì)相鄰小方格），每對(duì)小方格中所填之?dāng)?shù)的差均不小于10．

Answer 1

分析：此題首先找出最小者和最大者之間的差，再進(jìn)行分情況討論：最小者和最大者既不同行又不同列時(shí)；最小者和最大者同行或同列時(shí)；兩種情況討論得出結(jié)果．

解答：解：設(shè)a，b分別為這324個(gè)正整數(shù)中的最小者和最大者，由于這些數(shù)互不相等，所以有b-a≥323；
（1）當(dāng)a和b所在的方格既不同行又不同列時(shí)；
從a所在的方格出發(fā)，可以通過一系列向相鄰格（上下或左右）的移動(dòng)而達(dá)到b所在的格．
由于a和b既不同行又不同列，總存在兩條完全不同的路線（兩路線途經(jīng)的方格無一相同），由a所在的方格到達(dá)b所在的方格．顯然，無論是線路甲，還是線路乙，其相鄰移動(dòng)的次數(shù)均不超過17+17=34次．
若在線路甲上任何相鄰兩方格所填之?dāng)?shù)的差均小于或等于9，則323≤b-a≤34×9=306．這與事實(shí)不符．
路線乙的情況完全相同，所以，在路線甲和路線乙中各存在一對(duì)相鄰小方格，其中所填之?dāng)?shù)的差均不小于10．
（2）當(dāng)a和b所在的方格同行或同列時(shí)；
與情況1類似，同樣可以找到兩條完全不同的，移動(dòng)次數(shù)不大于34次的路線甲和路線乙，其中各存在一對(duì)相鄰小方格，其中所填之?dāng)?shù)的差均不小于10．

點(diǎn)評(píng)：此題主要利用兩者之間的最大差距與存在不同的情況分類討論進(jìn)行解決問題．