Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6,△ABC沿BC方向向右平移得△DCE，A、C對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是D、E.AC與BD相交于點(diǎn)O.

（1）將射線(xiàn)BD繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，且與DC，DE分別相交于F，G，CH∥BG交DE于H，當(dāng)DF=CF時(shí)，求DG的長(zhǎng)；

（2）如圖2，將直線(xiàn)BD繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，與線(xiàn)段AD，BC分別相交于點(diǎn)Q，P.設(shè)OQ=x，四邊形ABPQ的周長(zhǎng)為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求y的最小值.

（3）在（2）中PQ的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，△AOQ是否構(gòu)成等腰三角形？若能構(gòu)成等腰三角形，求出此時(shí)PQ的長(zhǎng)？若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）y=2x+10（≤x≤4），當(dāng)x=時(shí)，y有最小值，最小值為；（3）能，滿(mǎn)足條件的PQ的值為：或5或6.

【解析】

（1）證明DG=GH=EH即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2中，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH，可得OQ的最小值，證明△AOQ≌△COP（ASA），推出AQ=PC，推出y=AQ+AB+BP+PC+PQ=AB+BC+PQ=10+2x（≤x≤4）．根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可．
（3）分三種情形：①當(dāng)AQ=AO=3時(shí)，作OH⊥AD于H．②當(dāng)點(diǎn)Q是AD的中點(diǎn)時(shí)．③當(dāng)OA=OQ=3時(shí)，分別求解即可．

解：（1）如圖中，

∵DF=FC，CH∥FG，
∴DG=GH，
∵BC=CE，CH∥BG，
∴GH=HE，
∴DG=GH=HE，
∴DG=DE=AC=2．

（2）如圖2中，作AH⊥BC于H．

∵AB∥CD，AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵AB=BC，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴OA=OC=3，OB=OD==4，

∴，

∴AH=，
∵AQ∥PC，
∴∠QAO=∠PCO，
∵OA=OC，∠AOQ=∠COP，
∴△AOQ≌△COP（ASA），
∴AQ=PC，
∴y=AQ+AB+BP+PC+PQ=AB+BC+PQ=10+2x（≤x≤4）．
∴y=2x+10（≤x≤4）．
當(dāng)x=時(shí)，y有最小值，最小值為．

（3）能；

如圖3中，

分三種情形：①當(dāng)AQ=AO=3時(shí)，作OH⊥AD于H．
易知OH=，
∴AH==，
∴HQ=，
∴OQ=，
∴PQ=2OQ=．
②當(dāng)點(diǎn)Q是AD的中點(diǎn)時(shí)，AQ=OQ=DQ=，
∴PQ=2OQ=5．
③當(dāng)OA=OQ=3時(shí)，PQ=2OQ=6．
綜上所述，滿(mǎn)足條件的PQ的值為：或5或6．