Question

已知如圖，對(duì)稱軸為直線x=4的拋物線y=ax²+2x與x軸相交于點(diǎn)B、O．
（1）求拋物線的解析式．
（2）連接AB，平移AB所在的直線，使其經(jīng)過原點(diǎn)O，得到直線l．點(diǎn)P是l上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）當(dāng)△PAB的周長(zhǎng)最小時(shí)，在直線AB的上方是否存在一點(diǎn)Q，使以A，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△POB相似？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．（規(guī)定：點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)不為點(diǎn)O）

Answer 1

（1）∵對(duì)稱軸為直線x=-

2

2a

=4，
∴a=-

1

4

，
∴拋物線解析式為y=-

1

4

x²+2x；

（2）∵y=-

1

4

x²+2x=-

1

4

（x²-8x+16）+4=-

1

4

（x-4）²+4，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（4，4），
令y=0，則-

1

4

x²+2x=0，
解得x₁=0，x₂=8，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
則

4k+b=4 8k+b=0

，
解得

k=-1 b=8

，
所以，直線AB的解析式為y=-x+8，
∵直線l為直線AB平移至經(jīng)過原點(diǎn)的直線，
∴直線l的解析式為y=-x，
如圖，取點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B交直線l于點(diǎn)P，則△PAB的周長(zhǎng)最小，
此時(shí)，點(diǎn)A（-4，-4），
點(diǎn)P為線段A′B的中點(diǎn)，
∵

-4+8

2

=2，

-4+0

2

=-2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-2）；

（3）∵直線AB的解析式為y=-x+8，
∴直線AB與x軸、對(duì)稱軸的夾角的銳角為45°，
又∵l∥AB，
∴∠POB=45°，
根據(jù)勾股定理，AB=

42+(8-4)2

=4

2

，
PO=

22+22

=2

2

，
①∠BAQ=∠POB=45°時(shí)，∵△POB∽△BAQ，
∴

PO

AB

=

OB

AQ

，
即

2 2

4 2

=

8

AQ

，
解得AQ=16，
∴Q的橫坐標(biāo)為16+4=20，縱坐標(biāo)為4，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（20，4）；
②∠ABQ=∠POB=45°時(shí)，∵△POB∽△ABQ，
∴

PO

AB

=

OB

BQ

，
即

2 2

4 2

=

8

BQ

，
解得BQ=16，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（8，16），
綜上所述，存在點(diǎn)Q（20，4）或（8，16）使以A，B，Q為頂點(diǎn)的三角形與△POB相似．