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        1. 【題目】有兩個內角分別是它們對角的一半的四邊形叫做半對角四邊形.

          1)如圖1,在半對角四邊形ABCD中,BDCA,求BC的度數(shù)之和;

          (2)如圖2,銳角△ABC內接于⊙O,若邊AB上存在一點D,使得BD=BO.∠OBA的平分線交OA于點E,連結DE并延長交AC于點F,∠AFE=2∠EAF.

          求證:四邊形DBCF是半對角四邊形;

          (3)如圖3,在(2)的條件下,過點DDG⊥OB于點H,交BC于點G.當DH=BG時,求△BGH△ABC的面積之比.

          【答案】1B與∠C的度數(shù)之和120°;(2證明見解析;3.

          【解析】試題分析:1)在半對角四邊形ABCD中,B=D,C=A;根據(jù)四邊形的內角和為360°,得出BC的度數(shù)之和;

          2)如圖連接OC,根據(jù)條件先證BED≌△BEO,再根據(jù)全等三角形的性質得出∠BCF=BOE=BDE;設∠EAF=α,則∠AFE=2EAF=2α得出∠EFC=180°-AFE=180°-2α;再根據(jù)OA=OC得出∠OAC=OCA=α, 根據(jù)三角形內角和得出∠AOC=180°-OAC-OCA=180°-2α;從而得證.

          3)如圖,過點作OMBC于點M,由四邊形DBCF是半對角四邊形,得出∠ABC+ACB=120°BAC=60°,BOC=2BAC=120°;再由OB=OC,得出∠OBC=OCB=30°,BC=2BM=BO=BD;根據(jù)△DBGCBA得出答案.

          試題解析:(1)在半對角四邊形ABCD中,B=DC=A,

          ∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,

          ∴3∠B+3∠C=360°,

          ∴∠B+∠C=120°,

          B與C的度數(shù)之和120°;

          (2)在BED和BEO中,

          ,

          ∴△BED≌△BEO(SAS),

          ∴∠BDE=∠BOE,

          ∵∠BCF=BOE

          ∴∠BCF=BDE,

          如圖,連結OC,

          EAF=α,.則∠AFE=2∠EAF=2α,

          ∴∠EFC=180°-∠AFE=180°-2α,

          ∵OA=OC,

          ∴∠OAC=∠OCA=α,

          ∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-2α,

          ∴∠ABC=AOC=EFC.

          四邊形DBCF是半對角四邊形;

          (3)如圖,作過點OMBC于點M.

          四邊形DBCF是半對角四邊形,

          ∴∠ABC+∠ACB=120°,

          ∴∠BAC=60°,

          ∴∠BOC=2∠BAC=120°,

          ∵OB=OC,

          ∴∠OBC=∠OCB=30°,

          BC=2BM=BO=BD

          ∵DG⊥OB,

          ∴∠HGB=∠BAC=60°,

          ∵∠DBG=∠CBA,

          ∴△DBG∽△CBA,

          ∵DH=BG,BG=2HG,

          ∴DG=3HG,

          .

          練習冊系列答案
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          ②如圖2,若∠B=90°,則∠E=   ;

          (2)如圖3,若∠B=α,求∠E的度數(shù);

          (3)如圖4,仿照(2)中的方法,在(2)的條件下分別作∠EAB與∠ECB的角平分線,且兩條角平分線交于點G,求∠G的度數(shù).

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