Question

已知P是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)（如圖）．
（1）求證：

1

2

（a+b+c）＜PA+PB+PC＜a+b+c；
（2）若△ABC為正三角形，且邊長為1，求證：PA+PB+PC＜2．

Answer 1

分析：（1）由三角形兩邊之和大于第三邊得PA+PB＞c，PB+PC＞a，PC+PA＞b，則有PA+PB+PC＞

1

2

（a+b+c）；由定理4可知PA+PB＜a+b，PB+PC＜b+c，PC+PA＜c+a，則有PA+PB+PC＜a+b+c．從而得以證明．
（2）過P作DE∥BC交正三角形ABC的邊AB，AC于D，E，可得PA＜max{AD，AE}=AD，PB＜BD+DP，PC＜PE+EC，根據(jù)不等式的性質(zhì)即可證明PA+PB+PC＜2．

解答：證明：（1）由三角形兩邊之和大于第三邊得
PA+PB＞c，PB+PC＞a，PC+PA＞b．把這三個不等式相加，再兩邊除以2，便得
PA+PB+PC＞

1

2

（a+b+c）．
又由定理4可知
PA+PB＜a+b，PB+PC＜b+c，
PC+PA＜c+a．
把它們相加，再除以2，便得
PA+PB+PC＜a+b+c．
所以

1

2

（a+b+c）＜PA+PB+PC＜a+b+c；

（2）過P作DE∥BC交正三角形ABC的邊AB，AC于D，E，如圖所示．于是
PA＜max{AD，AE}=AD，
PB＜BD+DP，PC＜PE+EC，
所以PA+PB+PC＜AD+BD+DP+PE+EC=AB+AE+EC=2．

點(diǎn)評：本題考查了三角形三邊關(guān)系和正三角形的性質(zhì)，同時考查了不等式的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．