Question

【題目】在線段AB的同側(cè)作射線AM和BN，若∠MAB與∠NBA的平分線分別交射線BN，AM于點(diǎn)E，F(xiàn)，AE和BF交于點(diǎn)P．如圖，點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)發(fā)現(xiàn)當(dāng)射線AM，BN交于點(diǎn)C；且∠ACB=60°時(shí)，有以下兩個(gè)結(jié)論：
①∠APB=120°；②AF+BE=AB．
那么，當(dāng)AM∥BN時(shí)：

（1）點(diǎn)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)求出∠APB的度數(shù)，寫(xiě)出AF，BE，AB長(zhǎng)度之間的等量關(guān)系，并給予證明；
（2）設(shè)點(diǎn)Q為線段AE上一點(diǎn)，QB=5，若AF+BE=16，四邊形ABEF的面積為32 ，求AQ的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：解：點(diǎn)點(diǎn)的結(jié)論：①∵∠ACB=60°，

∴∠BAC+∠ABC=120°，

∵∠MAB與∠NBA的平分線分別交射線BN，AM于點(diǎn)E，F(xiàn)，

∴∠PAB+∠PBA= （∠PAB+∠PBA）=60°，

∴∠APB=120°，

②如圖，在AB上取一點(diǎn)G，使AG=AF，

∵AE是∠BAM的角平分線，

∴∠PAG=∠PAF，

在△PAG和△PAF中， ，

∴△PAG≌△PAF（SAS），

∴∠AFP=∠AGP，

∵∠EPF=∠APB=120°，∠ACB=60°，

∴∠EPF+∠ACB=180°，

∴∠PFC+∠PEC=180°，

∵∠PFC+∠AFP=180°，

∴∠PEC=∠AFP，

∴∠PEC=∠AGP，

∵∠AGP+∠BGP=180°，

∴∠PEC+∠BGP=180°，

∵∠PEC+∠PEB=180°，

∴∠BGP=∠BEP，

∵BF是∠ABC的角平分線，

∴∠PBG=∠PBE，

在△BPG和△BPE中， ，

∴△BPG≌△BPE（AAS），

∴BG=BE，

∴AF+BE=AB．

原命題不成立，新結(jié)論為：∠APB=90°，AF+BE=2AB（或AF=BE=AB），

理由：∵AM∥BN，

∴∠MAB+∠NBA=180°，

∵AE，BF分別平分∠MAB，NBA，

∴∠EAB= ∠MAB，∠FBA= ∠NBA，

∴∠EAB+∠FBA= （∠MAB+∠NBA）=90°，

∴∠APB=90°，

∵AE平分∠MAB，

∴∠MAE=∠BAE，

∵AM∥BN，

∴∠MAE=∠BAE，

∴∠BAE=∠BEA，

∴AB=BE，

同理：AF=AB，

∴AF+BE=2AB（或AF=BE=AB）

（2）

解：如圖1，

過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于G，

∵AF=BE，AF∥BE，

∴四邊形ABEF是平行四邊形，

∵AF+BE=16，

∴AB=AF=BE=8，

∵32 =8×FG，

∴FG=4 ，

在Rt△FAG中，AF=8，

∴∠FAG=60°，

當(dāng)點(diǎn)G在線段AB上時(shí)，∠FAB=60°，

當(dāng)點(diǎn)G在線段BA延長(zhǎng)線時(shí)，∠FAB=120°，

①如圖2，

當(dāng)∠FAB=60°時(shí)，∠PAB=30°，

∴PB=4，PA=4 ，

∵BQ=5，∠BPA=90°，

∴PQ=3，

∴AQ=4 ﹣3或AQ=4 +3．

②如圖3，

當(dāng)∠FAB=120°時(shí)，∠PAB=60°，∠FBG=30°，

∴PB=4 ，

∵PB=4 ＞5，

∴線段AE上不存在符合條件的點(diǎn)Q，

∴當(dāng)∠FAB=60°時(shí)，AQ=4 ﹣3或4 +3．

【解析】點(diǎn)點(diǎn)的兩個(gè)結(jié)論：①利用三角形的角平分線和三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；②先判斷出△PAG≌△PAF（SAS）得出∠AFP=∠AGP，結(jié)合同角的補(bǔ)角相等即可得出∠BGP=∠BEP，進(jìn)而判斷出△BPG≌△BPE（AAS），即可得出結(jié)論；（1）由角平分線和平行線整體求出∠MAB+∠NBA，從而得到∠APB=90°，最后用等邊對(duì)等角，即可．（2）先根據(jù)條件求出AF，F(xiàn)G，求出∠FAG=60°，最后分兩種情況討論計(jì)算．