Question

【題目】拋物線交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，頂點為D.

（1）寫出拋物線的對稱軸及C、D兩點的坐標（用含a的代數(shù)式表示）

（2）連接BD并以BD為直徑作⊙M，當a=-1時，請判斷⊙M是否經(jīng)過點C，并說明理由；

（3）在（2）題的條件下，點P是拋物線上任意一點，過P作直線垂直于對稱軸，垂足為Q. 那么是否存在這樣的點P，使△PQD與以B、C、D為頂點的三角形相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】

【1】 （1）過點C作CH⊥軸，垂足為H

∵在Rt△OAB中，∠OAB＝900，∠BOA＝300，AB＝2 ∴OB＝4，OA＝

由折疊知，∠COB＝300，OC＝OA＝

∴∠COH＝600，OH＝，CH＝3 ∴C點坐標為（，3）

【2】 （2）∵拋物線（≠0）經(jīng)過C（，3）、A（，0）兩點

∴解得：

∴此拋物線的解析式為：

【3】 （3）存在. 因為的頂點坐標為（，3）即為點C，MP⊥軸，設(shè)垂足為N，PN＝，因為∠BOA＝300，所以ON＝， ∴P（，）

作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E

把代入得：

∴ M（，），E（，）

同理：Q（，），D（，1）

要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE＝QD

即，解得：，（舍）

∴ P點坐標為（，）

∴ 存在滿足條件的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時P點的坐為（，） （12分）

【解析】

（1）由拋物線y=ax2+2x+3（a＜0）交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，頂點為D，根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸方程與頂點坐標的求解方法即可求得對稱軸及D點的坐標，又由當x=0時，y=3，求得C點的坐標；

（2）首先求得點B，C，D的坐標，然后根據(jù)兩點間的距離公式，求得BC，CD，BD的平方的值，即可得CD2+BC2=DB2，由勾股定理的逆定理，可求得∠DCB=90°，又由直徑所對的圓周角是直角，可得⊙M是經(jīng)過點C；

（3）首先求得CD，BC，的長，然后分別從①若點P在對稱軸的左側(cè)，且△PQD∽△DCB，②若點P在對稱軸的左側(cè)，且△PQD∽△BCD，③若點P在對稱軸的右側(cè)，且△PQD∽△DCB，④若點P在對稱軸的右側(cè)，且△PQD∽△BCD去分析，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得方程，解方程即可求得答案．

解：（1）∵拋物線y=ax2+2x+3（a＜0）交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，頂點為D．

∴對稱軸為：x=-

∵當x=0時，y=3，

∴C的坐標為：（0，3），

∵D點的縱坐標為：y=，

D點的坐標為：（-，）；…（3分）

（2）⊙M經(jīng)過點C，

理由：連接BC，

∵a=-1，

∴拋物線為：y=-x2+2x+3，

∴點D（1，4），點B（3，0），點C（0，3），

∴CD2=2，BD2=20，BC2=18，

∴CD2+BC2=DB2，

∴∠DCB=90°，

∵BD是直徑，

∴∠BCD是直徑所對的圓周角，

∴⊙M是經(jīng)過點C；（3分）

（3）存在. 因為的頂點坐標為（，3）即為點C，MP⊥軸，設(shè)垂足為N，PN＝，因為∠BOA＝300，所以ON＝， ∴P（，）

作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E

把代入得：

∴ M（，），E（，）

同理：Q（，），D（，1）

要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE＝QD

即，解得：，（舍）

∴ P點坐標為（，）

∴ 存在滿足條件的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時P點的坐為（，） （12分）