Question

幾何基礎(chǔ)問(wèn)題
小明遇到這樣一道題：如圖，已知OM，ON是∠AOB、∠BOC的平分線(xiàn)，射線(xiàn)OP在∠AOC內(nèi)部，若要使∠AOP與∠MON相等，則OP應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？聰明的小明想到用具體角度入手來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題．他假設(shè)∠AOB=70°，∠BOC=50°；不久他就解決了這個(gè)問(wèn)題．
（1）在小明的假設(shè)下（∠AOB=70°，∠BOC=50°；）請(qǐng)你算一算∠MON是多少度？與∠AOC有什么關(guān)系？
（2）如果∠AOB、∠BOC的度數(shù)發(fā)生了變化，∠MON與∠AOC的關(guān)系將如何變化？
（3）若要使∠AOP與∠MON相等，則OP應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？

Answer 1

（1）∵OM，ON是∠AOB、∠BOC的平分線(xiàn)，
∴∠MOB=

1

2

∠AOB，∠BON=

1

2

∠BOC，
∴∠MOB+∠BON=

1

2

（∠AOB+∠BOC），
∴∠MON=

1

2

∠AOC，
∵∠AOB=70°，∠BOC=50°，
∴∠AOC=70°+50°=120°，∠MON=

1

2

×120°=60°；
答：∠MON是60度，等于∠AOC的一半；
（2））∵OM，ON是∠AOB、∠BOC的平分線(xiàn)，
∴∠MOB=

1

2

∠AOB，∠BON=

1

2

∠BOC，
∴∠MOB+∠BON=

1

2

（∠AOB+∠BOC），
∴∠MON=

1

2

∠AOC，
答：如果∠AOB、∠BOC的度數(shù)發(fā)生了變化，∠MON仍然等于∠AOC的一半；
（3）∵∠MON=

1

2

∠AOC，
∴當(dāng)OP平分∠AOC時(shí)，∠AOP與∠MON相等．