Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中的正方形ABCD的邊長為acm（a＞2），B與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，邊AB在y軸正半軸，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的速度沿B→C→D方向，向點(diǎn)D運(yùn)動；動點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿A→B方向，向點(diǎn)B運(yùn)動，設(shè)P，Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，運(yùn)動時間為ts．
（1）若t=1時，△BPQ的面積為3cm²，則a的值為多少？
（2）在（1）的條件下，以點(diǎn)P為圓心，作⊙P，使得⊙P與對角線BD相切如圖（b）所示，問：當(dāng)點(diǎn)P在CD上動動時，是否存在這樣的t，使得⊙P恰好經(jīng)過正方形ABCD的某一邊的中點(diǎn)？若存在，請寫出符合條件的t的值并直接寫出直線PQ解析式（其中一種情形需有計(jì)算過程，其余的只要直接寫出答案）；若不存在，請說明理由．
（3）在（1）的條件下，且，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動時，△PQD是以PD為一腰的等腰三角形，在直線BD上找一點(diǎn)E，在x軸上找一點(diǎn)F，是否存在以E，F(xiàn)，P，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求出E，F(xiàn)兩點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）當(dāng)t=1時OP=2cm，BQ=（a-1）cm，
∵△BPQ的面積為3cm²，
∴BP•BQ=×2×（a-1）=3，
解得：a=4．

（2）當(dāng)P在CD上運(yùn)動時，若⊙P經(jīng)過BC的中點(diǎn)E，設(shè)⊙P切BD于M，則CP=2t-4，PM²=PE²=（2t-4）²+2²，
而在Rt△PMD中，由于∠PDM=45°，
所以，即DP²=2PM²，
所以（8-2t）²=2[（2t-4）²+2²]．解得，負(fù)值舍去，
所以．
所以當(dāng)點(diǎn)P在CD上運(yùn)動時，若，則⊙P恰好經(jīng)過正方形ABCD的某一邊的中點(diǎn)．
t=，y=x+4-；

（3）①若PD=QD，則Rt△DCP≌Rt△DAQ（HL）
所以CP=AQ．即t=4-2t，解得．
②若PD=PQ，則PD²=PQ²，即4²+（4-2t）²=（4-t）²+（2t）²，
解得，其中不合題意，舍去，
所以．所以或時，△PQD是以PD為一腰的等腰三角形．
又，
所以，E₁（，），F(xiàn)₁（，0），E₂（-，-），F(xiàn)₂（-，0），E₃（，），F(xiàn)₃（0，0）．
分析：（1）當(dāng)t=1時OP=2cm，BQ=（a-1）cm，根據(jù)△BPQ的面積為3cm²列出有關(guān)a的方程求得a值即可；
（2）當(dāng)P在CD上運(yùn)動時，若⊙P經(jīng)過BC的中點(diǎn)E，設(shè)⊙P切BD于M，則可得到CP=2t-4，根據(jù)勾股定理得到PM²=PE²=（2t-4）²+2²，然后在Rt△PMD中，根據(jù)得到DP²=2PM²，進(jìn)一步得到（8-2t）²=2[（2t-4）²+2²]求得t值后即可求得PQ的解析式；
（3）根據(jù)PD=QD得到Rt△DCP≌Rt△DAQ（HL），利用CP=AQ得到t=4-2t，求得t值和若PD=PQ，則PD²=PQ²，求得t值，然后求得點(diǎn)E、F的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：此題考查了圓的綜合知識，涉及到含相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大，尤其是動點(diǎn)問題，給此題增加了一定的難度，因此此題屬于難題．