Question

如圖，△ABO中，OA=OB，以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過(guò)AB中點(diǎn)C，且分別交OA、OB于點(diǎn)E、F．
（1）求證：AB是⊙O切線；
（2）若∠B=30°，且AB=4

3

，求

ECF

的長(zhǎng)（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析：（1）連接OC，利用等邊三角形底邊上的中線即是底邊上的高，即可證明．
（2）由∠B=30°，可求出圓心角，AB=4

3

，解直角三角形可求出圓的半徑，然后利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算．

解答：證明：（1）連接OC，∵OA=OB，C是AB的中點(diǎn)，
∴OC⊥AB．
∵點(diǎn)C在⊙O上，
∴AB是⊙O切線．（4分）

（2）∵OA=OB，∠B=30°，
∴∠EOF=120°．
∵C為AB的中點(diǎn)，AB=4

3

，
∴BC=2

3

．
在Rt△OCB中，令OC=r，則OB=2r，
列出方程為（2r）²-r²=（2

3

）²
解得：r=2．（3分）

ECF

的長(zhǎng)=

120×π×2

180

=

4

3

π．（3分）

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了等邊三角形的三線合一性質(zhì)，及弧長(zhǎng)公式的計(jì)算能力．