Question

△ABC是一張等腰直角三角形紙板，∠C=Rt∠，AC=BC=2，

1.要在這張紙板中剪出一個盡可能大的正方形，有甲、乙兩種剪法(如圖1)，比較甲．乙兩種剪法，哪種剪法所得的正方形面積大？請說明理由。

2.圖1中甲種剪法稱為第1次剪取，記所得正方形面積為；按照甲種剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分別剪取正方形，得到兩個相同的正方形，稱為第2次剪取，并記這兩個正方形面積和為(如圖2)，則；再在余下的四個三角形中，用同樣方法分別剪取正方形，得到四個相同的正方形，稱為第3次剪取，并記這四個正方形面積和為，繼續(xù)操作下去……，則第10次剪取時，；

3.求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和

 

Answer 1

 

1.解法1：如圖甲，由題意，得AE=DE=EC，即EC=1，

             如圖乙，設(shè)MN=x，則由題意，得AM=MQ=PN=NB=MN=x，

             ∴，解得   ∴

             又∵   ∴甲種剪法所得的正方形面積更大。          

             說明：圖甲可另解為：由題意得點D、E、F分別為AB、AC、BC的中點，

    解法2：如圖甲，由題意得AE=DE=EC，即EC=1     如圖乙，

            又∵，即   ∴甲種剪法所得的正方形面積更大。------2+2+1分

2.          

3.解法1：探索規(guī)律可知： 剩余三角形面積和為

          

   解法2：由題意可知，

         第一次剪取后剩余三角形面積和為

         第二次剪取后剩余三角形面積和為

         第三次剪取后剩余三角形面積和為

         ……

          第十次剪取后剩余三角形面積和為

 解析:略