Question

如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿著線段AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合），同時(shí)，點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)沿著線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)F不與點(diǎn)D點(diǎn)、點(diǎn)C重合），點(diǎn)E與F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度相同，當(dāng)點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)F也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)BE和AF相交于點(diǎn)P，連接PC，請(qǐng)?zhí)骄浚?br/>（1）AF和BE有怎樣的位置關(guān)系？試說明理由；
（2）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AD中點(diǎn)位置時(shí)，PA：PB是多少？
（3）當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到DC中點(diǎn)位置時(shí)，PC和BC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）AF⊥BE．
∵E在AD邊上（不與A、D重合），點(diǎn)F在DC邊上（不與D、C重合）．
又點(diǎn)E、F分別同時(shí)從A、D出發(fā)以相同的速度運(yùn)動(dòng)，
∴AE=DF
∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=DA，∠BAE=∠D=90°
∴△BAE≌△ADF（SAS）
∴∠1=∠2
∵∠2+∠3=90°∴∠1+∠3=90°即∠APB=90°
∴AF⊥BE．

（2）由（1）知當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到AD中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)F也運(yùn)動(dòng)到DC中點(diǎn)，此時(shí)就有AF⊥BE．
∵F是CD的中點(diǎn)，∴DF=CD，∵AD=CD，∴DF=AD
∵∠1=∠2，
∴tan∠1=tan∠2
在Rt△ADF中，tan∠2==
∴在Rt△APB中，tan∠1=
∴PA：PB的值是1：2．

（3）PC=BC．
證明：延長(zhǎng)AF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，
∵∠D=∠DCG=90°，DF=CF，∠AFD=∠GFC，
∴△ADF≌△GCF（ASA），
∴CG=AD，
∵BC=AD，∴CG=BC=BG，
由（1）知AF⊥BE，
∴∠BPG=90°，
∴△BPG為直角三角形
∴PC=BG，
∵BC=BG，
∴PC=BC．
分析：（1）根據(jù)題意很容易證得△BAE≌△ADF，利用正方形內(nèi)角為90°，得出AF⊥DE．
（2）要求兩條線段的關(guān)系，需要把兩者放入一直角三角形中，利用三角函數(shù)求解．根據(jù)題意可知此時(shí)AF⊥BE，又有中點(diǎn)的關(guān)系，可以得出tan∠2=，由∠1=∠2，可以求解．
（3）延長(zhǎng)AF交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，可以得出△ADF≌△GCF，進(jìn)而得出CG=AD，通過線段的轉(zhuǎn)換可以得出BC=BG，根據(jù)題意可以得出PC=BG，即可以得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：①本題考查了正方形的性質(zhì)，要求有比較高的讀圖能力．
②本題是探求性試題，做這類題前要求大膽的假設(shè)，根據(jù)假設(shè)再去證明．需要在平時(shí)做題中培養(yǎng)這種能力．