Question

在銳角△ABC中，BC＝5，sinA＝．
(1)如圖1，求△ABC外接圓的直徑；
(2)如圖2，點(diǎn)I為△ABC的內(nèi)心，BA＝BC，求AI的長(zhǎng)。

Answer 1

解：（1）作△ABC的外接圓的直徑CD，連接BD。

則∠CBD=90⁰，∠D=∠A。
∴。
∵BC＝5，∴。
∴△ABC外接圓的直徑為。
（2）連接BI并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)H，作IE⊥AB于點(diǎn)E。

∵BA=BC，∴BH⊥AC。∴IH=IE。
在Rt△ABH中，BH=AB·sin∠BDH=4，。
∵，∴ ，即。
∵IH=IE，∴。
在Rt△AIH中，。

三角形外心和內(nèi)心的性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的判定和性質(zhì)，勾股定理。
（1）作△ABC的外接圓的直徑CD，連接BD，由直徑所對(duì)圓周角是直角的性質(zhì)得∠CBD=90⁰，由同圓中同弧所對(duì)圓周角相等得∠D=∠A，從而由已知，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義即可求得△ABC外接圓的直徑。
（2）連接BI并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)H，作IE⊥AB于點(diǎn)E，由三角形內(nèi)心的性質(zhì)和角平分線的判定
和性質(zhì)，知IH=IE。在Rt△ABH中，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和勾股定理可求出BH=4和AH=3，從而由求得。在Rt△AIH中，應(yīng)用勾股定理求得AI的長(zhǎng)。