Question

【題目】(本題12分)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別O(0,0),A(3, )，B(9,5 )，C(14,0).動(dòng)點(diǎn)P與Q同時(shí)從O點(diǎn)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，點(diǎn)P沿OC方向以1單位長(zhǎng)度/秒的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿折線OAABBC運(yùn)動(dòng)，在OA，AB，BC上運(yùn)動(dòng)的速度分別為3， ， (單位長(zhǎng)度/秒)﹒當(dāng)P,Q中的一點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

（1）求AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式.
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△CPQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式及S的最大值.
（3）在P,Q的運(yùn)動(dòng)過程中，若線段PQ的垂直平分線經(jīng)過四邊形OABC的頂點(diǎn)，求相應(yīng)的t值.

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（3，3 ），B（9，5 ）代入y=kx+b,

得 ;解得： ;

∴y= x+2 ;

（2）

解：在△PQC中，PC=14-t,PC邊上的高線長(zhǎng)為 ;

∴

∴當(dāng)t=5時(shí)，S有最大值；最大值為 .

（3）

解： a.當(dāng)0＜t≤2時(shí)，線段PQ的中垂線經(jīng)過點(diǎn)C（如圖1）；

可得方程

解得：,（舍去），此時(shí)t=.

b.當(dāng)2＜t≤6時(shí)，線段PQ的中垂線經(jīng)過點(diǎn)A（如圖2）

可得方程,

解得：;（舍去），此時(shí)；

c.當(dāng)6＜t≤10時(shí)，

①線段PQ的中垂線經(jīng)過點(diǎn)C（如圖3）

可得方程14-t=25-;

解得：t=.

②線段PQ的中垂線經(jīng)過點(diǎn)B（如圖4）

可得方程;

解得,（舍去）；

此時(shí)；

綜上所述：t的值為，，，.

【解析】（1）用待定系數(shù)法求直線AB方程即可。
（2）根據(jù)三角形的面積公式得到關(guān)于t的二次三項(xiàng)式，再由二次函數(shù)圖像的性質(zhì)求出S的最大值即可。
（3）根據(jù)t的值分情況討論，依題意列出不同的方程從而求出t的值。
【考點(diǎn)精析】利用確定一次函數(shù)的表達(dá)式和二次函數(shù)的最值對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知確定一個(gè)一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時(shí)，y最值=(4ac-b2)/4a．