Question

（2013•泉州質(zhì)檢）在平面直角坐標系中，A、B兩點的坐標分別為A（3，2），B（1，5）．
（1）若點P的坐標為（0，m），當m=

17

4

時，△PAB的周長最短；
（2）若點C、D的坐標分別為（0，a）、（0，a+4），則當a=

5

4

時，四邊形ABDC的周長最短．

Answer 1

分析：（1）如圖1，AB的長度一定，要使△PAB的周長取最小值，需要滿足PA+PB取最小值，利用軸對稱的性質(zhì)確定點P的位置，求出A'B的函數(shù)解析式后即可得出點P的坐標；
（2）如圖2，作點A關(guān)于x軸的對稱點A′，則A′的坐標為（-3，2），把A′向上平移4個單位得到點B'（-3，6），連接BB′，與y軸交于點D，易得四邊形A′B′DC為平行四邊形，得到CA′=DB′=CA，則AC+BD=BB′，根據(jù)兩點之間線段最短得到此時（AC+BD）最小，即四邊形ABDC的周長最短．然后用待定系數(shù)法求出直線BB′的解析式y(tǒng)=4x-17，易得D點坐標為
（0，

17

4

），則有a+4=

17

4

，即可求出a的值．

解答：解：（1）如圖，過點A作關(guān)于y軸的對稱點A'，連接A'B，則A'B與y軸的交點即為點P的位置，
∵點A的坐標為（3，2），
∴點A'的坐標為（-3，2），
設(shè)直線A'B的解析式為y=kx+b，則

-3k+b=2 k+b=5

，
解得

k= 3 4 b= 17 4

，
即直線A'B的解析式為y=

3

4

x+

17

4

，
∵點P的坐標為（0，m），且點P在直線A′B上，
∴m=

17

4

．

（2）解：如圖2，作點A關(guān)于y軸的對稱點A′，則A′的坐標為（-3，2），把A′向上平移4個單位得到點B'（-3，6），連接BB′，與y軸交于點D，
∴CA′=CA，
又∵點C、D的坐標分別為（0，a）、（0，a+4），
∴CD=4，
∴A′B′∥CD，
∴四邊形A′B′DC為平行四邊形，
∴CA′=DB′，
∴CA=DB′，
∴AC+BD=BB′，此時AC+BD最小，
而CD與AB的長一定，
∴此時四邊形ABDC的周長最短．
易得直線BB′的解析式為y=-

1

4

x+

21

4

，
∵點D在直線BB′上，且D（0，a+4），
∴a+4=

21

4

．
解得a=

5

4

．
故答案是：

17

4

；

5

4

．

點評：本題考查了軸對稱-最短路線問題：通過對稱，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段，利用兩點之間線段最短解決問題．也考查了坐標變換以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式．