Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，過點B作⊙O的切線BM，弦CD∥BM，交AB于點F，且=，連接AC，AD，延長AD交BM于點E．

（1）求證：△ACD是等邊三角形.
（2）連接OE，若DE=2，求OE的長.

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AB是⊙O的直徑，BM是⊙O的切線，

∴AB⊥BE，

∵CD∥BE，

∴CD⊥AB，

∴=

∵=，

∴==，

∴AD=AC=CD，

∴△ACD是等邊三角形；

（2）

解：連接OE，過O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等邊三角形，

∴∠DAC=60°

∵AD=AC，CD⊥AB，

∴∠DAB=30°，

∴BE=AE，ON=AO，

設(shè)⊙O的半徑為：r，

∴ON=r，AN=DN=r，

∴EN=2+，BE=AE=，

在Rt△NEO與Rt△BEO中，

OE2=ON2+NE2=OB2+BE2，

即（）2+（2+）2=r2+，

∴r=2，

∴OE2=+25=28，

∴OE=2．

【解析】（1）由AB是⊙O的直徑，BM是⊙O的切線，得到AB⊥BE，由于CD∥BE，得到CD⊥AB，根據(jù)垂徑定理得到=，于是得到==，問題即可得證；
（2）連接OE，過O作ON⊥AD于N，由（1）知，△ACD是等邊三角形，得到∠DAC=60°又直角三角形的性質(zhì)得到BE=AE，ON=AO，設(shè)⊙O的半徑為：r則ON=r，AN=DN=r，由于得到EN=2+，BE=AE=，在Rt△DEF與Rt△BEO中，由勾股定理列方程即可得到結(jié)論．
此題考查了圓的綜合應(yīng)用以及等邊三角形的判定與性質(zhì)和切線的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用.