Question

【題目】如圖，拋物線交軸于A（﹣3，0），B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)P是線段BC上方拋物線上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．

（1）求此拋物線的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)，求MA+MB的最小值，并求出此時點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（3）求面積的最大值，并求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）MA+MB的最小值為；；（3）△PBC面積的最大值為；P．

【解析】

（1）把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入列方程組求出a、c的值，即可得答案；

（2）由點(diǎn)M坐標(biāo)可知點(diǎn)M在直線y=2上，令y=0，可得出點(diǎn)B坐標(biāo)，作點(diǎn)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)B′，可得B′坐標(biāo)，連接BM、AB′，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得BM=B′M，可得MA+MB的最小值為AB′，利用勾股定理可求出AB′的長，根據(jù)A、B′坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得直線AB′的解析式，把y=2代入即可得點(diǎn)M坐標(biāo)；

（3）過P作PQ軸交BC于Q，根據(jù)B、C坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線BC的解析式，設(shè)，把m代入BC解析式可用m表示出PQ的長，根據(jù)S△PBC=PQ·OB可用m表示出△PBC的面積，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得答案．

（1）把A（﹣3，0），C，代入得，

解得：

∴拋物線的表達(dá)式為．

（2）∵，

∴點(diǎn)M在直線上，

令得

，

作點(diǎn)B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)B′，

∴BM=B′M，

∴MA+MB的最小值為線段AB′的長度，

∵B（4，0），

∴B′(4，4)，

∴AB′，

∴MA+MB的最小值為，

設(shè)直線AB′的解析式為，

∵A（-3，0），B′（4，4），

∴，

解得，

∴直線AB′的解析式為，

當(dāng)時，，

解得：，

∴．

（3）如圖，過P作PQ軸交BC于Q，

設(shè)直線BC的解析式為，

∵，C，

∴，

解得，

∴直線BC的解析式為，

∵P在拋物線上，且在BC上方，

∴設(shè)，

∴，

∴，

∴S△PBC=PQ·OB=，

∵，

∴當(dāng)時，S△PBC的最大值為，

當(dāng)m=2時，，

∴P．