Question

如圖18-1所示，已知二次函數(shù)與x軸分別交于點(diǎn)A（2，0）、

B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，-8t）（t＞0）

1.求a、c的值及拋物線頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；

2.如圖18-1，連接AC，將△OAC沿直線AC翻折，若點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O′恰好落在該拋物線的對(duì)稱軸上，求實(shí)數(shù)t的值；

3.如圖18-2，在正方形EFGH中，點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別是（4，－4）、（4，－3），邊HG位于邊EF的右側(cè)．若點(diǎn)P是邊EF或邊FG上的任意一點(diǎn)（不與E、F、G重合），請(qǐng)你說明以PA、PB、PC、PD的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)不能構(gòu)成平行四邊形；

4.將（3）中的正方形EFGH水平移動(dòng)，若點(diǎn)P是正方形邊FG或EH上任意一點(diǎn)，在水平移動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)P，使以PA、PB、PC、PD的長(zhǎng)度為邊長(zhǎng)構(gòu)成平行四邊形，其中PA、PB為對(duì)邊．若存在，請(qǐng)直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

1.把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)（2，0）、（0，－8t）代人拋物線y=ax²－6ax+c得，

，解得  ，                  ……………………2分

該拋物線為y=x²+6tx－8t=（x－3）² + t．

∴頂點(diǎn)D坐標(biāo)為（3，t）                               ……………………3分

2.如圖9，設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為M，則AM＝1．

由題意得：O′A=OA=2．

∴O′A=2AM，∴∠O′AM＝60°．

∴∠O′AC＝∠OAC＝60°                         

∴在Rt△OAC中：

∴OC=，

即．∴．        …………………6分

3.①如圖10所示，設(shè)點(diǎn)P是邊EF上的任意一點(diǎn)

（不與點(diǎn)E、F重合），連接PM．

∵點(diǎn)E（4，－4）、F（4，－3）與點(diǎn)B（4，0）在一直線上，

點(diǎn)C在y軸上，

∴PB<4，PC≥4，∴PC>PB．

又PD>PM>PB，PA>PM>PB，

∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD．

∴此時(shí)線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形．        …………………8分

②設(shè)P是邊FG上的任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)F、G重合)，

∵點(diǎn)F的坐標(biāo)是（4，－3），點(diǎn)G的坐標(biāo)是（5，－3）．

∴FB＝3，，∴3≤PB≤．

∵PC >4，∴PC >PB．

∴PB≠PA，PB≠PC．

∴此時(shí)線段PA、PB、PC、PD不能構(gòu)成平行四邊形．        …………………9分

4.t=或或1．                               …………………12分

【解析】

因?yàn)橐阎狿A、PB為平行四邊形對(duì)邊，∴必有PA＝PB．

①假設(shè)點(diǎn)P為FG與對(duì)稱軸交點(diǎn)時(shí)，存在一個(gè)正數(shù)t，使得線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形．

如圖11所示，只有當(dāng)PC＝PD時(shí)，線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形．

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，－8t），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3， t），

又點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，－3），

∴PC²＝3²＋(－3+8t)²，PD²＝(3＋t)²．

當(dāng)PC＝PD時(shí)，有PC² =PD²

即 3²＋(－3+8t)²=(3＋t)²．

整理得7t²－6t＋1＝0，

∴解方程得t=>0滿足題意．

②假設(shè)當(dāng)點(diǎn)P為EH與對(duì)稱軸交點(diǎn)時(shí)，存在一個(gè)正數(shù)t，使得線段PA、PB、PC、PD能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形．

如圖12所示，只有當(dāng)PC＝PD時(shí)，線段PA、PB、PC、PD

能構(gòu)成一個(gè)平行四邊形．

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，－8t），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（3， t），

點(diǎn)P的坐標(biāo)是（3，－4），

∴PC²＝3²＋(－4+8t)²，PD²＝(4＋t)²．

當(dāng)PC＝PD時(shí)，有PC² =PD²

即 3²＋(－4+8t)²=(4＋t)²

整理得7t²－8t＋1＝0，

∴解方程得t =或1均大于>0滿足題意．

綜上所述，滿足題意的t=或或1．