Question

如圖1，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-2，-1），且P（-1，-2）為雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，Q為坐標(biāo)平面上一動(dòng)點(diǎn)，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B．
（1）寫(xiě)出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式；
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線(xiàn)MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線(xiàn)MO上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得△OBQ與△OAP面積相等？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限中的雙曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作以O(shè)P、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

分析：（1）正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-2，-1），設(shè)出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，運(yùn)用待定系數(shù)法可求它們解析式；
（2）因?yàn)镻（-1，-2）為雙曲線(xiàn)Y=

2

X

上的一點(diǎn)，所以△OBQ、△OAP面積為1，依據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，點(diǎn)Q在雙曲線(xiàn)上，即符合條件的點(diǎn)存在，是正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象的交點(diǎn)；
（3）因?yàn)樗倪呅蜲PCQ是平行四邊形，所以O(shè)P=CQ，OQ=PC，而點(diǎn)P（-1，-2）是定點(diǎn)，所以O(shè)P的長(zhǎng)也是定長(zhǎng)，所以要求平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值就只需求OQ的最小值．

解答：解：（1）設(shè)正比例函數(shù)解析式為y=kx，
將點(diǎn)M（-2，-1）坐標(biāo)代入得k=

1

2

，所以正比例函數(shù)解析式為y=

1

2

x，
同樣可得，反比例函數(shù)解析式為y=

2

x

；

（2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線(xiàn)OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（m，

1

2

m），
于是S_△OBQ=

1

2

OB•BQ=

1

2

×

1

2

m×m=

1

4

m²，
而S_△OAP=

1

2

|（-1）×（-2）|=1，
所以有，

1

4

m²=1，解得m=±2，
所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q₁（2，1）和Q₂（-2，-1）；

（3）因?yàn)樗倪呅蜲PCQ是平行四邊形，所以O(shè)P=CQ，OQ=PC，
而點(diǎn)P（-1，-2）是定點(diǎn)，所以O(shè)P的長(zhǎng)也是定長(zhǎng)，
所以要求平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值就只需求OQ的最小值，（8分）
因?yàn)辄c(diǎn)Q在第一象限中雙曲線(xiàn)上，所以可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（n，

2

n

），
由勾股定理可得OQ²=n²+

4

n2

=（n-

2

n

）²+4，
所以當(dāng)（n-

2

n

）²=0即n-

2

n

=0時(shí)，OQ²有最小值4，
又因?yàn)镺Q為正值，所以O(shè)Q與OQ²同時(shí)取得最小值，
所以O(shè)Q有最小值2，由勾股定理得OP=

5

，
所以平行四邊形OPCQ周長(zhǎng)的最小值是2（OP+OQ）=2（

5

+2）=2

5

+4．（10分）

點(diǎn)評(píng)：此題難度稍大，考查一次函數(shù)反比例函數(shù)二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)．要注意對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用．